Differentialligninger

Differentialligningen for [A] er

        [A]' = -k₁·[A]

der let integreres til

        [A](t) = a·e^-k₁t .

Differentialligningen for [B] er

        [B]' + k₂·[B] = k₁·[A] = -[A]' = a·k₁·e^-k₁t .

Så er

        [B](t) = e^-k₂t · (∫ e^k₂t · a·k₁·e^-k₁t dt + b)

                 = e^-k₂t · ( (a·k₁/(k₂-k₁))·e^(k₂-k₁)t + b)

                 = (a·k₁/(k₂-k₁))·e^-k₁t + b·e^-k₂t .

Udtrykket i det vedlagte er forkert.

Tusinde tak for jeres svar! (#1 og #2)

#2: Jeg har nogle spørgsmål til dit svar :)

 [B]' + k₂·[B] = k₁·[A] = -[A]' = a·k1·e^-k1t .     --> Her rykker du -k₂[B] på den anden side, og så siger sætter du løsningen for [A] (a·k1·e-k1t) ind på [A]'s plads? 

Hvordan når du frem til?:     [B](t) = e^-k2t · (∫ e^k2t · a·k1·e^-k1t dt + b)   

                 = e^-k2t · ( (a·k1/(k2-k1))·e^(k2-k1)t + b)

Hvordan når du frem til?   = (a·k1/(k2-k1))·e^-k1t + b·e^-k2t .

#3

Man indsætter i panserformlen, løsningsformlen for den lineære differentialligning af 1. orden.

Ligningen    

        y'(t) + p(t)·y(t) = q(t)

har den fuldstændige løsning

        y(t) = e^-P(t) · (∫ e^P(t) · q(t) dt + c) ,

hvor     P(t) = ∫ p(t) dt .

Man skal jo så bestemme integralet

         ∫ e^k₂t · a·k₁·e^-k₁t dt = a·k₁ · ∫ e^(k₂-k₁)t dt = (a·k₁/(k₂-k₁)) · e^(k₂-k₁)t

Det er jeg med på, men hvordan når du fra:

e^-k2t · ( (a·k1/(k2-k1))·e^(k2-k1)t + b)       til   (a·k1/(k2-k1))·e^-k1t + b·e^-k2t   ??

#5

Ved at gange ind i parentesen med faktoren e^-k₂t

hihi nårrh jaa :P 

Lige et sidste spørgsmål, jeg sætter resultatet for [B] ind i: 

d[C]/dt = k2*[B]   <=> d[C]/dt = k2*(a·k1/(k2-k1)) · e(k2-k1)t 

Hvordan regner man så den sidste løsning? :-)

#7

Så er [C] jo en stamfunktion til k₂·[B](t), dvs

        [C](t) = -(a·k₂/(k₂-k₁))·e^-k₁t - b·e^-k2t  + c

Det forstår jeg ikke helt, hvordan du gør.. og man får jo ikke det samme resultat som i den vedhæftede fil..   

#9

Der er tale om at benytte kendte stamfunktioner for e^-k₁t og e^-k2t  . Som nævnt er der fejl i det vedlagte udtryk for [B], og det vedlagte opererer kun med én integrationskonstant for et system med 3 differentialligninger. Hvis man i #8 sætter b = -a·k₁/(k₂-k₁) og c = a , fremkommer det vedlagte udtryk for [C] .

Vil du ikke være sød at vise det? for jeg ikke sikker på at jeg helt med.. 

#11

Hvad er det, du ikke forstår? Jeg har vist ovenfor, hvordan ligningssystemet integreres. Man finder

        [C] = k₂ · ∫ ((a·k₁/(k₂-k₁))·e^-k₁t + b·e^-k₂t ) dt + c

              = a·k₁·k₂/(k₂-k₁) · ∫ e^-k₁t dt + b·k₂ · ∫ e^-k₂t dt + c

              = -(a·k₂/(k₂-k₁))·e^-k₁t - b·e^-k₂t  + c

Nu er jeg med, tusinde tak for hjælpen! :-)