Matematik

Differentlialligninger

28. december 2014 af dumstudent (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

y''+2y'+2y=2x+4

(a) Vis at y(x) = x + 1 er løsning til differentialligningen
(b) Bestem dernæst den fuldstændige løsning til differentlialligningen.

Brugbart svar (0)

Svar #1
28. december 2014 af mathon

a) Vis at y(x) = x + 1 er løsning til differentialligningen

y'' = 0
   y' = 1
hvoraf venstre side:
     y''+2y'+2y
   0 + 2(y' + y) = 2(1+x + 1) = 2(x+2) = 2x + 4
hvorfor
y_p = x + 1   er en partikulær løsning til y''+2y'+2y=2x+4

Brugbart svar (0)

Svar #2
28. december 2014 af mathon

b)
         den fuldstændige løsning til y''+2y'+2y=2x+4
         er summen af
                                  $\small y=y_{h}+y_{p}$
         For løsningerne til y''+2y'+2y=0
         haves den karakteristiske ligning

                            $\small r^2+2r+2=0$
med løsningerne
                              $\small x=-1\pm i$
hvorfor
                              $\small y_{h}(x)=e^{-x}\cdot \left ( c_1\cdot \cos(x)+c_2\cdot \sin(x) \right )$
dvs
den fuldstændige løsning:

$\small y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)=e^{-x}\cdot \left ( c_1\cdot \cos(x)+c_2\cdot \sin(x) \right )+x+1$

Svar #3
28. december 2014 af dumstudent (Slettet)

Fedt, tak! Dog er jeg ikke helt med på hvorfra du ved hvad du skal gøre i a

Brugbart svar (0)

Svar #4
28. december 2014 af LeonhardEuler

#3. : Du indsætter bare værdierne og ser om det er en løsning - altså om venstre og højresiden har samme udtryk/værdi.

Svar #5
28. december 2014 af dumstudent (Slettet)

Hvad menes der med

y'' = 0

y' = 1

Hvor kommer det fra?

Brugbart svar (0)

Svar #6
28. december 2014 af Andersen11 (Slettet)

Man betragter funktionen y(x) = x+1 . For denne funktion gælder der, at y'(x) = 1 og y''(x) = 0 . Indsat i differentialligningens venstreside har man så

y''(x) + 2y'(x) + 2y(x) = 0 + 2·1 + 2·(x+1) = 2x + 4

der er lig med differentialligningens højreside, hvorfor funktionen y(x) = x+1 er en løsning til differentialligningen.

Brugbart svar (0)

Svar #7
28. december 2014 af Heptan

#5 Funktionen differentieres. Har du haft om differentialregning?

To mærker betyder at man finder den anden afledte.

Brugbart svar (0)

Svar #8
28. december 2014 af Andersen11 (Slettet)

Det giver vel kun mening at løse opgaver med differentialligninger, hvis man allerede har lært om den grundlæggende differentialregning. Opgavens niveau er endvidere sat til Universitet/Videregående.

Svar #9
28. december 2014 af dumstudent (Slettet)

Aaarh! Selvfølgelig! Havde ikke lige overvejet at det var y(x) = x+1, som vi differentierede :)

Tak for hjælpen allesammen

Skriv et svar til: Differentlialligninger

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.