Laplace

Benyt, at faktoren e^-(-iωt) er begrænset, og at e^-st går mod 0.

#1

Hvordan kan e^-s·∞ gå mod 0?

#2

Er s ikke ≥ 0 ?

#3

Så vidt jeg ved, så er s et komplekst tal.

#4

Der gælder, at hvis integralet   ₀∫^∞ e^-st·F(t) dt  eksisterer (konvergerer) for et reelt s₀ , så konvergerer det for ethvert komplekst s for hvilket Re(s) > s₀ .

#5

Og det betyder, at s ≥ 0? Må jeg betragte s som et reelt tal, dvs. at der samlet set står e^-s·∞ ⇒ e^-∞?

#0:   Undskyld, men er du sikker på, at der ikke skal stå:  e^-sT * . . . . ,  der angiver en konstant tidsforsinkelse på T sekunder ?  Det giver jo mening med disse cos(ωt+θ), altså en cos-funktion forsinket θ grader, alias T sekunder.

#7

Det ser rigtigt ud i #0. Det er en opgave fra lærebogen.

#6

Du kan i hvert fald slutte, at integralet eksisterer, hvis Re(s) ≥ 0.

#9

Jeg skal jo regne udtrykket i #0 ud. (Det er ikke en bevisførsel)

Det kan jeg f.eks. gøre ved at smide det første led væk, hvis e^-st går mod nul. Jeg vidste dog ikke, at man måtte betragte s som en reel værdi.

#10

Du har ret i, at s skal betragtes som en kompleks variabel, men det er Re(s) , der bestemmer konvergensforholdene for integralet.

#11

Jeg ved ikke, hvad s er. Det fortæller opgaven mig ikke. Hvad gør man så?

#12

Konklusionen er vel så, at integralet kun eksisteret for Re(s) ≥ 0 , og at man da har

        ₀∫^∞ e^-st·e^i(ωt+θ) dt = e^iθ/(s - iω) = e^iθ·(s + iω)/(s² + ω²)

Man har så

        ₀∫^∞ e^-st·e^-i(ωt+θ) dt = e^-iθ·(s - iω)/(s² + ω²)

og dermed

        ₀∫^∞ e^-st·cos(ωt+θ) dt = (1/2)·(1/(s²+ω²))·(e^iθ·(s + iω) + e^-iθ·(s - iω))

                                        = (1/(s²+ω²))·(s·cos(θ) - ω·sin(θ))

#13

Jeg kommer frem til det rigtige resultat, hvis jeg betragter e^-s·∞ ⇒ e^-∞ = 0. Det var egentlig den forklaring jeg ledte efter, om jeg måtte betragte s som en reel værdi. Opgaven kan vel ikke løses, hvis Re(s) er negativ eller 0, men giver s · -∞ = -∞, hvor s er en kompleks variabel?

#14

s skal betragtes som en kompleks variabel. Integralet eksisterer kun, hvis Re(s) ≥ 0 . I fremgangsmåden i #13 er benyttet, at

         cos(x) = (e^ix + e^-ix)/2      og     sin(x) = (e^ix - e^-ix)/(2i)

Hvis du forsøger at få integralet for cos(ωt+θ) ved at se på realdelen af hele integralet, skal du stadig betragte s som en kompleks variabel, hvilket forekommer mere kompliceret.

#15

Så man kan ikke generelt sige, at e^-st går mod 0, når t = ∞ som du skrev i #1 (forudsat, at Re(s) ≥ 0)?

#16

Det gælder kun for Re(s) ≥ 0 .

Det er også klart, at hvis du betragter s som reel, kommer du forholdsvis let til det korrekte resultat for integralet med cos(ωt+θ)  ved at tage realdelen af  e^iθ·(s + iω) . At resultatet er korrekt for s kompleks, fremgår af #13.

#17

Hvis s = σ + iω med σ ≥ 0, så man kan vel skrive:

e^-st = e^{-(σ + iω)t} ⇒ e^-σ·∞e^-i·ω·∞ = 0, det e^-σ·∞ = 0, hvor t = ∞.

Skal σ ikke var skarpt større end 0?

#18

Jo, det vil være fint at ændre de relevante ulighedstegn til skarpe ulighedstegn.

Men imaginærdelen af s er ikke nødvendigvis lig med ω .

#19

Den kunne godt have været -ω, men det er vel ligegyldigt, når vi alligevel har et led, der hedder: e^-σ·∞ = 0