differentialligning

Du har ikke benyttet oplysningerne i opgaven:

Hastigheden hvormed en kop varm kakao afgiver varme til omgivelserne er proportional med produktet af kakaoens temperatur og differensen mellem kakaoens temperatur og omgivelsernes temperatur.

Heraf ser man

        T' = k·T·(T - T_omg)

hvor T er kakaoens temperatur, og T_omg er omgivelsernes konstante temperatur. Der er altså tale om en logistisk differentialligning.

#1 Men hvis jeg nu går videre til delopgave b, så ved jeg ikke hvor jeg skal indsætte det givne punkt?

Det ser ud til at jeg får givet en temperatur som y-værdi. Skal den indsættes på Ts plads? Begge steder? Og hvad med x-værdien som ser ud til at være en værdi for tiden?

#2

I spm b) oplyses det, at k = -0,0015, T_omg = 20, og T(0) = 87. Opstil først den generelle løsning til den logistiske differentialligning, og bestem så integrationskonstanten ud fra oplysningen T(0) = 87.

Der er ikke noget x og y her. Den ukendte funktion er kakaoens temperatur T(t), hvor t er tiden.

Jeg har nu opstillet følgende:

Jeg går ud fra, at det er T jeg skal isolere.

Når jeg bruger min Ti-nspire lommeregneres solvefunktion, fortæller den mig at løsningen er "false". Hvor går det galt?

Nu har jeg lige læst #3 igen. Jeg forstår ikke, hvordan det er T(t) vi skal finde, når vi kender den? Er det da ikke den, som er lig med 87, når temp = 0 ?

Eller er det T = 87 ?

Og man derfor skal bestemme T(t) ?

I så fald, har jeg fået T(t) = -8.74

Er jeg galt på den?

#4

Der skal ikke stå 87 på venstre side. Det er jo en differentialligning , hvor den afledede T' står på venstre side. Man skal løse den logistiske differentialligning (slå op i bogen)

        T' = k·T·(T - T_omg)

Sætter man u(t) = 1/T(t) får man

        u' = k·T_omg·(u - 1/T_omg)

dvs

        u - 1/T_omg = 1/T(t) - 1/T_omg = c·e^kTomg·t .

Her indsætter man T(0) = 87 til bestemmelse af c , dvs

        c = 1/87 - 1/20

hvorefter T(t) kan bestemmes.

Bemærk, at T(t) er en funktion af tiden t, mens T(0) = 87 er temperaturen til det bestemte tidspunkt t = 0.