Optimering

Se det her er matematik og ikke alle de udregner, der indebærer at man skal huske bestemte regneregler. Jeg synes, at jeg ser de "simple" udregninger alt for tit herinde. 

Hvad er v? Er det vinklen når juleklippepapiret er ufoldet? Og så er w vinklen når det er foldet?

#2

Her er vedhæftet et bedre billede med tegningerne, men jeps, så vidt jeg ved er du rigtigt på den

Det er svært at finde ud af.

Men hvis jeg kigger på primært en negot uddannelse, hvilke stillingsbetegnelser kan jeg så få? Er det egentlig ikke de samme som nævnt overstående, men der er erhversøkonomi med statistik også er der matematik. Jeg er lidt i tvivl angående det med marketingskoordinator. 

Kald radius i den oprindelige cirkel for r. Når klippevinklen er v, er omkredsen af den øvre cirkel

        p = 2πr·v/(2π) = v·r = 2πr·vº/360º

hvor v er klippevinklen i radianer og vº er klippevinklen i grader. Med r = 20 fås da

        p = 2π·20·vº/360º = (π/9)·vº

Radius i keglens grundflade er da

        x = p/(2π) = v·r/(2π) = r·vº/360º .

Radius x i keglens grundflade danner sammen med keglens højde h en retvinklet trekant hvis hypotenuse er den oprindelige cirkels radius r, hvorfor Pythagoras giver

        h = √(r² - x²) ,

der med r = 20 giver

        h = √(20² - x²) = √(400 - x²)

Keglens rumfang er

        V = (π/3)·h·x² = (π/3) · √(r² - x²) · x² = (π/3) · √(r² - v²r²/(2π)²) · v²·r²/(2π)²

Vi vil nu finde maksimum for funktionen

        V(x) = (π/3) · √(r² - x²) · x²

med

        V '(x) = (π/3) · (2x·√(r² - x²) + x²·(-2x) /(2√(r² - x²))) = (π/3)·(2x·(r² - x²) -x³) / √(r² - x²)

og vi ser

        V '(x) = 0 ⇒ 2x·(r² - x²) -x³ = 0 ⇒ x·(2r² - 3x²) = 0 , dvs

        x = 0 ∨ x = r·√(2/3) .

Den optimale klippevinkel er da

        vº = (x/r)·360º = √(2/3) · 360º = 293,94º

hvorfor

        360º - vº = 66,06º

#4

Dit indlæg hører vist hjemme i en helt anden tråd.

#6

Hej torben.

Det var meningen, det skulle være sent som en besked til maibrit, men jeg altså ingen idé om, hvordan det er havnet her. Det undskylder jeg for. 

Angående w, topvinklen i keglen, kan den findes ved at se på en retvinklet trekant, der består af højden, en radius i grundfladen og en ret linje fra toppen til randen af grundfladen. 

Heraf kan det udledes at

I den optimale kegle er w = 109,5º hvilket også er kendt som den tetrahedrale vinkel.

Hvad siger vinklen 66,06 om den her opgave?

Jeg har prøvet at udlede det optimale rumfang for en kegle, hvor topvinklen, w, varieres, og hvor afstanden, r, fra toppen til randen af grundfladen holdes konstant (x er stadig radius i grundfladen og højden h):

der har maximum i w = 90º. Dette giver en modstrid, der formodentlig skyldes, at man ikke får en perfekt kegle ved at folde et stykke papir, som vist, og at de to beregninger dermed ikke kan sammenlignes.

#10

Nå jo, jeg glemte sin(½·w), dvs.

hvilket også giver w_optimum = 109,5º.

#10

...en modstrid, der formodentlig skyldes, at man ikke får en perfekt kegle ved at folde et stykke papir...

Det med uperfekt kegle var desværre en fejl.