Matematik
Sandsynlighedstæthed for Z = X + Y
Information først:
Lad A = {(x, y) ∈R2 | 0<x<1 ∧ y>0}. Definér p(x,y) = 1A(x,y) 2xe-y, som er en sandsynlighedstæthed.
Den marginale sandsynlighedstæthed for X er p1(x) = 1(0,1)(x) 2x og
for Y er p2(y) = 1(0,∞)(y) e-y. Begge fordelinger er uafhængige.
Opgaven lyder så:
For at bestemme sandsynlighedstæthed for Z = X + Y, skal vi benytte
q(z) = ∫R p1(x)p2(z - x) dx.
Vi ser, at p1(x)p2(z - x) = 1(0,1)(x)2x 1(0,∞)(z-x) e-(z-x) = 1(0,1)(x) 2x 1(0,∞)(z-x) exe-z.
Jeg ved ikke hvad jeg skal gøre for at omskrive indikator funktionen 1(0,∞)(z-x) før jeg kan indsætte det hele i integralet. Jeg kan kun se, at 0 < z - x, dvs. x < z. Da x > 0, medfører dette 0 < x < z, derfor er x ∈(0, z). På den anden side medfører x < z også 0 < z, derfor er z∈(0,∞). Tilsammen vil
1(0,∞)(z-x) = 1(0,z)(x)1(0,∞)(z). Men ifølge svaret skal z have to intervaller. Hvad gør jeg?
Svar #1
09. januar 2015 af Andersen11 (Slettet)
Når 0 < z < 1 skal integralet i x gå fra 0 til z , dvs
0∫z 2x·e-(z-x) dx = e-z · 0∫z 2x·ex dx = 2·e-z · [ex·(x-1)]z0 = 2·(z-1 +e-z) .
Når z ≥ 1 , skal integralet i x gå fra 0 til 1 , dvs
0∫1 2x·e-(z-x) dx = e-z · 0∫1 2x·ex dx = 2·e-z · [ex(x-1)]10 = 2·e-z
Skriv et svar til: Sandsynlighedstæthed for Z = X + Y
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.