Matematik

Partielt afledede

11. januar 2015 af Kemi1996 (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hej, jeg har problemer med den sidste del i denne opgave:

Tilstandsligningen for (et fast antal mol af) en gas udtrykker trykket P som funktion af volumenet V og temperaturen T: P=f(V,T). For en ideal gas er tilstandsligningen P = n*R * T/V,

hvor n antallet af mol og R er en konstant (gaskonstanten). Man kan selvfølgelig også udtrykke volumnet som funktion af tryk og temperatur og temperaturen som funktion af tryk og volumen, dvs.

V= n*R* T/P eller T = P*V/n*R

Hvis man (naivt) forkorter i brøkerne kunne man ledes til at tro at produktet

$\partial P/\partial T$ * $\partial T/\partial V$ * $\partial V/\partial P$

er lig med 1. Dette resultat er imidlertid ikke korrekt.

a) Beregn vha. de eksplicitte udtryk ovenfor de partielt afledte

b) Vis at produktet er lig med at tal forskelligt fra 1, hvilket?

delopgave a har jeg lavet og fået til:

$\frac{\partial P}{\partial T}= n*R/V$

$\frac{\partial T}{\partial V}= P/n*R$

$\frac{\partial V}{\partial P}= n*R*T*\frac{1}{P} el. P^{-1}$

Jeg tror at svaret i b må være -1 men kan ikke helt vise hvordan

På forhånd, tak !

Brugbart svar (0)

Svar #1
11. januar 2015 af GalVidenskabsmand (Slettet)

Ud fra idealgasligningen PV=nRT kan vi finde

P = nRT/V

T = PV/(nR)

V = nRT/P

Hvoraf vi kan finde

∂P/∂T = nR/V

∂T/∂V = P/(nR)

∂V/∂P = -nRT/P²

Du fik vist glemt at differentiere det sidste udtryk. Prøv nu at gange de tre udtryk sammen, så får du -1.

Svar #2
11. januar 2015 af Kemi1996 (Slettet)

#1 Hvordan får du -n ?

Brugbart svar (1)

Svar #3
11. januar 2015 af GalVidenskabsmand (Slettet)

V = nRT/P

Når man skal differentiere med noget, der står i nævneren, synes jeg, at det nemmest at omskrive det til formen

V = nRT*P^-1

Når man så differentierer, så hiver man eksponenten ned foran og trækker 1 fra. Ligesom vi kender fra matematik:

f(x) = x^a

f '(x) = a*x^a-1

Så vi får

∂V/∂P = (-1)nRT*P^-2

Svar #4
11. januar 2015 af Kemi1996 (Slettet)

#3 Det gav mening, tak. Når jeg ganger alle udtryk sammen får jeg :

$-\frac{n*R*T}{V*P}$ , men hvordan kan jeg vise at dette er -1 ?

Brugbart svar (1)

Svar #5
11. januar 2015 af GalVidenskabsmand (Slettet)

Tænk på Idealgasligninge PV = nRT. Tæller og nævner er lig hinanden.

Svar #6
11. januar 2015 af Kemi1996 (Slettet)

#5 Nåår jo ! Tak for hjælpen :)

Skriv et svar til: Partielt afledede

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.