Matematik

Binomial theorem

17. januar 2015 af overkontroversiel (Slettet) - Niveau: B-niveau

Hvordan kan man vise zmed binomialformlen, at

$\sqrt{1+x} = \textstyle 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3 - \frac{5}{128}x^4 + \frac{7}{256}x^5 - \cdots$

$\frac{1}{\sqrt{1+x}} = \textstyle 1 -\frac{1}{2}x + \frac{3}{8}x^2 - \frac{5}{16}x^3 + \frac{35}{128}x^4 - \frac{63}{256}x^5 + \cdots$

$(1+x)^{-1} = \frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + \cdots$

med taylor-formlen er det en let sag, men jeg kan ikke helt gennemskue denne med binomialformlen

Brugbart svar (0)

Svar #1
17. januar 2015 af Therk

Er det ikke lige ud ad landevejen?

$(x+y)^n = \sum_{k=0}^n \binom nk x^{n-k} y^k$

Indse evt. at

$\begin{align*} \sqrt{1+x} &= (1+x) ^{1/2} \\ \frac{1}{\sqrt{1+x}} &= (1+x)^{-1/2} \end{align*}$

Svar #2
17. januar 2015 af overkontroversiel (Slettet)

Gælder binomialformlen også for negative potenser eller decimalbrøkker? Hvis ja - så har du ganske ret i at det er en simpel sag. Jeg tænkte i første omgang på at omskrive det som et produkt, således at potensen vil blive positiv heltallig.

Brugbart svar (0)

Svar #3
17. januar 2015 af Therk

Læs evt. om hvornår serien konvergerer på mathworld.wolfram.com.

Skriv et svar til: Binomial theorem

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.