Matematik

Ottekant

26. februar 2015 af Michael23 - Niveau: A-niveau

Jeg er gået i stå med en opgave og jeg ved ikke hvad jeg nu skal gøre, jeg ved dog jeg skal gøre noget med tan.

Her er opgaven:

http://i.imgur.com/Hf8SW4v.png

Og her har jeg brugt pythagoras til at udregne en side af ottekanten men hvad så efter, ved jeg ikke...

http://i.imgur.com/Qlh8ZNT.png

Tusind tak på forhånd!

Brugbart svar (0)

Svar #1
26. februar 2015 af Soeffi

Svar #2
26. februar 2015 af Michael23

#1 tak!

Brugbart svar (0)

Svar #3
26. februar 2015 af Soeffi

Benyt evt. nedenstående tegning og reglen om, at hver vinkel i en regulær ottekant er 135º.

Vedhæftet fil:ottekant.JPG

Brugbart svar (0)

Svar #4
26. februar 2015 af mathon

${A_{8-kant}}^{regul\ae r}=2(\sqrt{2}+1)\cdot a^2$

$\left | EB \right |=2\cdot a\cdot \cos(45^{\circ})+a=2\cdot a\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+a=\left (\sqrt{2}+1 \right )a$

${A_{8-kant}}^{regul\ae r}=2(\sqrt{2}+1)\cdot a^2=2\cdot k$

$A_{BCDE}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot \sin(45^{\circ})\cdot \left (\left | EB \right | \right +\left | CD \right |)$

$A_{BCDE}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\left ( 2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot a+a+a \right )=\frac{1}{2}\cdot \left ( \sqrt{2}+1 \right )\cdot a^2=\frac{1}{2}k$

$\frac{A_{BCDE}}{{A_{8-kant}}^{regul\ae r}}=\frac{\frac{1}{2}k}{2k}=\frac{1}{4}$

............

$\sin(45^{\circ})=\cos(45^{\circ})=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos(135^{\circ})=-\cos(45^{\circ})$

$A_{trapez}=\frac{1}{2}\cdot h\cdot (a+b)$ hvor a og b er trapezets parallelle sidelængder.

Brugbart svar (0)

Svar #5
27. februar 2015 af Andersen11 (Slettet)

Hvis vi kalder 8-kantens side for a, ser man, at firkant BCDE er et trapez med de parallelle sider a og
a + a/√2 + a/√2 , og med afstanden h = a/√2 mellem de to parallelle sider. Arealet af firkant BCDE er da

A_BCDE = (1/2)·(a + a + a/√2 + a/√2)·a/√2 = a²·(1 + 1/√2)/√2 = a²·(1/2)·(1 + √2) .

Trekant ABE er en retvinklet trekant, hvis ene katete er |AB| = a , og hvis anden katete er
|BE| = a + a/√2 + a/√2 .

Arealet af trekant ABE er da

A_ABE = (1/2)·a·(a + a/√2 + a/√2) = a²·(1 + √2)/2 = A_BCDE

Man ser også, at summen af de to arealer A_BCDE og A_ABE er lig med det halve af 8-kantens areal, så man har

A_BCDE / A_8kant = A_BCDE / (2·(A_BCDE + A_ABE)) = A_BCDE / (2·(A_BCDE + A_BCDE)) = 1/4 .

Brugbart svar (0)

Svar #6
27. februar 2015 af mathon

detaljer:
Den regulære octagon opdeles i 8 trekantet alle med tuppunkt i centrum for octagonens
omskrevne cirkel.

Arealet af en sådan trekant er, når octagonens sidelængde er a:

$\frac{a^2}{2}\cdot \frac{\left (\sin\left ( 67,5^{\circ} \right ) \right )^2}{\sin\left ( 45^{\circ} \right )}=\frac{a^2}{4}\cdot \frac{2\cdot \left (\sin\left ( 67,5^{\circ} \right ) \right )^2}{\sin\left ( 45^{\circ} \right )}=\frac{a^2}{4}\cdot \frac{1-\cos(135^{\circ})}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=$

$\frac{a^2}{4}\cdot \frac{1+\cos(45^{\circ})}{\frac{ \sqrt{2}}{2}}=\frac{a^2}{4}\cdot \left ( \frac{2}{\sqrt{2}}+1 \right )=\frac{a^2}{4}\cdot \left ( \sqrt{2}+1 \right )$

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! {A_{octagon}}^{regelm\ae ssig}=8\cdot A_{enkelttrekant}=8\cdot \left ( \frac{a^2}{4}\cdot \left ( \sqrt{2}+1 \right ) \right )= 2 \left ( \sqrt{2}+1 \right ) \cdot a^2$

Brugbart svar (0)

Svar #7
21. juli 2015 af Soeffi

CAS-konsrtuktion (dur ikke som bevis).

Vedhæftet fil:Screen Shot 2015-07-21 at 1.41.29 PM.png

Skriv et svar til: Ottekant

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.