Matematik

Integralregning

09. marts 2015 af Ummuanas (Slettet) - Niveau: A-niveau

Godaften allesammen!

Jeg har fået stillet følgende opgave som jeg ønsker hjælp til:

Bestem den stamfunktion til funktionen

g(x)=x/(√x+3)

hvis graf har linjen y=4x-180·In(3) som tangent.

Jeg ved godt hvordan man løser opgaven, men har bare problemer med at integrere udtrykket, hvilket gør at facit ikke bliver korrekt.

På forhånd mange tak :D

Brugbart svar (0)

Svar #1
09. marts 2015 af mathon

$g(x)=\frac{x}{\sqrt{x+3}}=4\; \; \; \; \; \; \; x> -3$

$\frac{x^2}{x+3}=16$

$x^2-16x-48=0\; \; \; \; \; x> -3$

Brugbart svar (0)

Svar #2
09. marts 2015 af LubDub (Slettet)

g(x) = x/(√(x+3)) eller g(x) = x/(√(x)+3) ?

Brugbart svar (0)

Svar #3
09. marts 2015 af peter lind

Brug substitution t = kvrod(x+3) x= t²-3 dx = 2tdt

Svar #4
09. marts 2015 af Ummuanas (Slettet)

LubDub: g(x) = x/(√(x)+3)

Brugbart svar (0)

Svar #5
09. marts 2015 af Andersen11 (Slettet)

Altså

$g(x)=\frac{x}{\sqrt{x}+3}$

og ikke

$g(x)=\frac{x}{\sqrt{x+3}}$

Brugbart svar (0)

Svar #6
09. marts 2015 af peter lind

#2 #4 så brug i stedet substitutionen t = kvrod(x) t²=x 2tdt = dx

Svar #7
09. marts 2015 af Ummuanas (Slettet)

#5
#4

Altså

$g(x)=\frac{x}{\sqrt{x}+3}$

og ikke

$g(x)=\frac{x}{\sqrt{x+3}}$

?

Ja, det første. Har svært ved at skrive tegn herinde

Brugbart svar (0)

Svar #8
09. marts 2015 af Andersen11 (Slettet)

Løs ligningen g(x₀) = 4 , dvs

x₀ / (3 + √x₀) = 4

Da vil (x₀ , 4x₀ - 180·ln(3)) være et punkt, som stamfunktionen til g(x) skal gå igennem.

Svar #9
09. marts 2015 af Ummuanas (Slettet)

#8
#7

Løs ligningen g(x₀) = 4 , dvs

x₀ / (3 + √x₀) = 4

Da vil (x₀ , 4x₀ - 180·ln(3)) være et punkt, som stamfunktionen til g(x) skal gå igennem.

Jep, alt det har jeg gjort. Det er bare selve stamfunktionen jeg har svært ved. Får hele tiden forkerte resultater :/

Brugbart svar (0)

Svar #10
09. marts 2015 af Andersen11 (Slettet)

Prøv at vise dine resultater. Hvorfor mener du, at de er forkerte?

Svar #11
09. marts 2015 af Ummuanas (Slettet)

#10
#9

Prøv at vise dine resultater. Hvorfor mener du, at de er forkerte?

Jeg har løst ligningen g(x)=4

g(x)=x0 / (3 + √x0) = 4

Her har jeg fået x=36

Herefter har jeg udregnet (x0 , 4x0 - 180·ln(3) og fået y= -53,75

dvs. koordinaterne til det punkt, som stamfunktionen skal gå gennem er (36,-53.75)

Herefter kan jeg ikke rigtig komme videre.

Brugbart svar (0)

Svar #12
09. marts 2015 af Andersen11 (Slettet)

#11

Ja, det fastlægger konstanten k i stamfunktionen. Bestem nu en stamfunktion G(x) til g(x) ved at benytte substitutionen i #6, og benyt så, at G(36) = 4·36 - 180·ln(3) til at fastlægge k.

Svar #13
09. marts 2015 af Ummuanas (Slettet)

#12
#11

Ja, det fastlægger konstanten k i stamfunktionen. Bestem nu en stamfunktion G(x) til g(x) ved at benytte substitutionen i #6, og benyt så, at G(36) = 4·36 - 180·ln(3) til at fastlægge k.

Skal prøve - tak skal du have :D

Brugbart svar (0)

Svar #14
09. marts 2015 af mathon

$x=u^2\; \; \; \; \; \; \; \; dx=2u\textup\, {d}u$

$G(x)=\int \frac{x}{\sqrt{x}+3}\, \textup{d}x=2\int \frac{u^3}{u+3}\, \textup{d}u=\int \left ( 2u^2-6u+18-\frac{54}{u+3} \right )\, \textup{d}u=$

$\frac{2}{3}u^3-3u^2+18u-54\int \frac{1}{u+3}\, \textup{d}(u+3)=\frac{2}{3}u^3-3u^2+18u-54\cdot \ln(u+3)+k=$

$\frac{2}{3}x\sqrt{x}-3x+18\sqrt{x}-54\cdot \ln(\sqrt{x}+3)+k$

Brugbart svar (0)

Svar #15
09. marts 2015 af mathon

$g(x)=\frac{x}{\sqrt{x}+3}=4\; \; \; \; \; x\geq 0$

$x=4\sqrt{x}+12$

$(x-12)^2=(4\sqrt{x})^2$

x^2-40x+144=0

$x=\left\{\begin{matrix} 4\\36 \end{matrix}\right.$

Brugbart svar (0)

Svar #16
09. marts 2015 af Andersen11 (Slettet)

#15

Men de to værdier x = 4 eller x = 36, er ikke begge løsninger til den oprindelige ligning.

Brugbart svar (0)

Svar #17
09. marts 2015 af mathon

Da der i #15 er foretaget kvadrering, som ikke giver ensbetydende regning, må de fundne rødder kontrolleres.
Kontrollen viser, at x = 4 må forkastes.

Skriv et svar til: Integralregning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.