Lige og ulige polynomier på en graf

Du skriver selv: "hvordan kan jeg formulere det, så jeg selv forstår det?" og det er jo kun dig der kan vide det ;-)

Du kan prøve at kigge på xⁿ og indse at

Hvis n er lige vil der gælde at x₀ⁿ = (-x₀)ⁿ 
Hvis n er ulige vil der ikke nødvendigvis (kun hvis x₀ = 0 ) gælde at x₀ⁿ = (-x₀)ⁿ

Hvilke konsekvenser har det for rødderne i et polynomium af højere grad p(x) = axⁿ + bx^n-1 + ... + k

Hvis du er tilfreds med en graffortolkning.

Rødderne kan aflæses grafisk ved at se på der hvor grafen skærer x-aksen. Hvis polynomiumet er af lige grad vil polynomiumet grafisk vende et ulige antal gange. Hvis man kigger på polynomiumet inden det begynder at vende vil det enten være aftagende eller voksende efter et ulige antal "vendinger" vil grafen bevæge sig modsat af hvad den gjorde inden det ulige antal "vendinger" begyndte. Fordi grafen bevæger sig modsat af hvad den gjorde inden vendingerne blev foretaget giver det mulighed for at den slet ikke skærer x-aksen (ingen rødder).

Omvendt vil en graf hørende til et polynomium af ulige grad bevæge sig i modsat retning efter, et lige antal vendinger, hvorfor man altid vil kunne finde mindst et sted hvor den skærer x-aksen, dvs. den altid har mindst en (reel) rod.

#0

...Men hvordan hænger det sammen med ulige/lige grader, hvordan kan jeg formulere det, så jeg selv forstår det? :-/...

Måske du mener: "...så selv jeg..."

Når x går mod minus uendelig vil et ulige polynomium gå mod minus uendelig, da det højeste led i polynomiet vil dominere. Omvendt når x går mod plus uendelig, så vil polynomiet gå mod plus uendelig af samme grund. Da polynomier er kontinuerte, må der være et x i mellem minus og plus uendelig, hvor polynomiet antager værdien nul og dermed skærer x-aksen.

For at vise, at et polynomium af lige grad ikke nødvendigvis har en rod, skal man blot give et eksempel. Ethvert polynomium af formen

        p(x) = x²ⁿ + 1

hvor n er positiv og heltallig, har ingen reelle rødder, da 2.-gradspolynomiet (xⁿ)² + 1 ikke har nogen reel rod.

#3
...
Når x går mod minus uendelig vil et ulige polynomium gå mod minus uendelig, da det højeste led i polynomiet vil dominere. Omvendt når x går mod plus uendelig, så vil polynomiet gå mod plus uendelig af samme grund. Da polynomier er kontinuerte, må der være et x i mellem minus og plus uendelig, hvor polynomiet antager værdien nul og dermed skærer x-aksen.

Det var forudsat, at koefficienten til leddet med højeste grad (ikke højeste led) er positiv. Er den negativ får man samme konklusion, man skal bare vende fortegnene. 

Er graden lige for leddet med højeste grad (det glemte jeg at tage med) kan samme argumentation bruges. For x gående mod plus eller minus uendelig vil leddet med højeste grad dominere. Dette led vil gå mod plus uendelig i begge tilfælde (for positiv koefficient). Polynomiet vil i dette tilfælde have en mindsteværdi, som kan være større end nul, i dette tilfælde vil der ikke være et nulpunkt. Tilsvarende med en negativ koefficient, her vendes fortegn og mindsteværdi erstattes med størsteværdi.

#2

Hvis du er tilfreds med en graffortolkning.

Rødderne kan aflæses grafisk ved at se på der hvor grafen skærer x-aksen. Hvis polynomiumet er af lige grad vil polynomiumet grafisk vende et ulige antal gange. Hvis man kigger på polynomiumet inden det begynder at vende vil det enten være aftagende eller voksende efter et ulige antal "vendinger" vil grafen bevæge sig modsat af hvad den gjorde inden det ulige antal "vendinger" begyndte. Fordi grafen bevæger sig modsat af hvad den gjorde inden vendingerne blev foretaget giver det mulighed for at den slet ikke skærer x-aksen (ingen rødder).

Omvendt vil en graf hørende til et polynomium af ulige grad bevæge sig i modsat retning efter, et lige antal vendinger, hvorfor man altid vil kunne finde mindst et sted hvor den skærer x-aksen, dvs. den altid har mindst en (reel) rod.

Tak, brusebad - det her hjalp mig til at forstå, hvad jeg rent faktisk laver :)

Hov det var vist ikke helt rigtigt det jeg skrev.

"Omvendt vil en graf hørende til et polynomium af ulige grad bevæge sig i modsat samme retning efter, et lige antal vendinger, hvorfor man altid vil kunne finde mindst et sted hvor den skærer x-aksen, dvs. den altid har mindst en (reel) rod."