differentialligning

Løser man den karakteristiske ligning, finder man

        λ = -ω₀·ζ ± i·ω₀·√(1-ζ²)

           = -ω₀·ζ ± i·ω_d

og man har da løsninger af formen

        x(t) = A·e^λt = A · e^{-ζ·ω₀·t} · e^±iω_d·t

hvorfor forsvinder kvadratroden?

nåårh det er omega_d som er indsat istedet for 

#2

Man benytter definitionen i (1.12)

        ω_d = ω₀·√(1-ζ²)

#4 ja det kan jeg godt se nu. 

Et sidste spørgsmål. 

Vi starter med at antage løsningen x(t) = A·e^(λt)

men så ender vi med med to eksponentiel funktions led . hvordan kan det være? 

        x(t) = A·e^(λt) = A · e^(-ζ·ω0·t) · e^(±iωd·t)

Har det noget at gøre med den reelle del og den komplekse del ? 

Han omskriver igen det sidste led til det udtryk som jeg har oploadet. Men hvordan er det han ender her? jeg er med på at han omskriver den fra ekponentiel form til trigonometrisk form. Men jeg kan stadig ikke lige gennemskue hvor alle leddene kommer fra? 

#5

Ikke helt, men man har jo

        x(t) = A·e^λt = A·e^{(-ω₀·ζ ± i·ω_d)t} = A · e^{-ζ·ω₀·t} · e^±iω_d·t

#6

Man benytter jo, at 

        e^ip = cos(p) + i·sin(p) .

Så har man, videre fra #7 med forskellige konstanter for de to løsninger,

        x(t) = A · e^{-ζ·ω₀·t} · e^iω_d·t + B · e^{-ζ·ω₀·t} · e^-iω_d·t

              = e^{-ζ·ω₀·t}·(A+B)·cos(ω_d·t) + e^{-ζ·ω₀·t}·(A-B)·i·sin(ω_d·t)

hvor A og B så afpasses efter begyndelsesbetingelserne.