Matematik

Integral

20. april 2015 af anon16 (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej, jeg skal beregne integralet af: $\int_{\pi }^{\ - pi } (sin(x)+2x)dx$ uden hjælpemidler. Vi har desuden fået tre svarmuligheder, men min løsning er ikke en af disse. Så måske der er en her der kan finde se min fejl og hjælpe lidt :)

Jeg har først integreret funktionen til: -cos(x)+x² og har herefter indsat pi og -pi og regner det herefter ud (det er nok her det går galt med nogen parenteser..)
$(-cos(pi)+pi^2)-(-cos(-pi)+(-pi^2)) \Rightarrow (-1+pi^2)-(1-pi^2) = 2*\pi ^2-2$

De valgmuligheder vi har fået er:

1. 0 ,

2. $\pi ^2-2$

3. $2*\pi ^2-4$

Brugbart svar (0)

Svar #1
20. april 2015 af mathon

$\int_{\pi }^{-\pi }(\sin(x)+2x)\, \textup{d}x=\int_{-\pi }^{\pi }(2x-\sin(x))\, \textup{d}x=\left [ x^2+\cos(x) \right ]_{-\pi }^{\pi }=$ $\pi ^2+(-1)-\left ( (-\pi ) ^2+\cos(-\pi )\right )=\pi ^2-1-\pi ^2+1=0$

Brugbart svar (0)

Svar #2
20. april 2015 af Andersen11 (Slettet)

Man kan bemærke, at funktionen

f(x) = sin(x) + 2x

er en ulige funktion, dvs. for alle x gælder der, at

f(-x) = - f(x) .

Det bestemte integral af en kontinuert, ulige funktion f(x) på et interval, der er symmetrisk omkring 0, er altid lig med 0, idet man har

_-a∫^a f(x) dx = _-a∫⁰ f(x) dx + ₀∫^a f(x) dx = _-a∫⁰ -f(-x) dx + ₀∫^a f(x) dx

= _a∫⁰ f(t) d(t) + ₀∫^a f(x) dx

= - ₀∫^a f(t) dt + ₀∫^a f(x) dx

= 0 .

I #1 er der smuttet et fortegn, der dog ikke påvirker slutresultatet. Det skal være

$\newline\newline \int_{\pi}^{-\pi}(\sin x+2x)\, \textup{d}x=\int_{-\pi}^{\pi}(-\sin x -2x)\, \textup{d}x\newline\newline =\left [\cos x - x^2{}\right ]_{-\pi}^{\pi}=\cos \pi -\cos (-\pi)-\pi^{2}+(-\pi)^{2}\newline\newline =-1-( -1)-\pi^{2}+\pi^{2}=0$

Brugbart svar (0)

Svar #3
20. april 2015 af mathon

$\int_{\pi }^{-\pi }(\sin(x)+2x)\, \textup{d}x=\int_{-\pi }^{\pi }({\color{Red} -}2x-\sin(x))\, \textup{d}x=\left [ -x^2+\cos(x) \right ]_{-\pi }^{\pi }=$

$-\pi ^2+\cos(-\pi )-\left (-\left (\left (-\pi \right ) ^2 \right )+\cos(-\pi ) \right )=$

$-\pi ^2-1+\pi ^2+1 =0$

Skriv et svar til: Integral

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.