Matematik

Differentialligninger

22. april 2015 af omarbashir (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej allesammen! Jeg håber på hjælp til følgende opgave:

Mængden Q af et radioaktivt stof i en prøve henfalder pr. år med en fart, der er 0,00028 gange den øjeblikkelige mængde radioaktive stof. Opskriv en differentialligning for Q:

Den har jeg opskrevet som:

Q'(t)=-0,00028*Q(t)

Løs derefter differentialligningen, når der til tiden t = 0 var 4,1 g radioaktivt stof i prøven.

Her er jeg lidt lost. Jeg har en ide om at man skal separere variablerne. Er det korrekt?

Brugbart svar (0)

Svar #1
22. april 2015 af mathon

$\frac{\mathrm{d} Q}{\mathrm{d} t}=-0{,}00028\cdot Q$

$Q(t)=Q_0\cdot e^{-0{,}00028\cdot t}$

$Q(t)=(4,1\; g)\cdot e^{-0{,}00028\cdot t}$

Brugbart svar (0)

Svar #2
22. april 2015 af PeterValberg

Du kan godt separere de variable, eller udnytte, at en differentialligning af typen

$y'=k\cdot y$

har den fuldstændige løsning:

$y=c\cdot e^{kx}$

hvor konstanten c efterfølgende kan bestemmes vha. oplysningen y(0) = 4,1

- - -

mvh.

Peter Valberg
(YouTube)

Brugbart svar (0)

Svar #3
22. april 2015 af mathon

#1 i detaljer:

$\frac{\mathrm{d} Q}{\mathrm{d} t}=-0{,}00028\cdot Q$ de variable separeres

$\frac{1}{Q}\mathrm{d} Q=-0{,}00028\cdot \mathrm{d} t$ der integreres på begge sider

$\int \frac{1}{Q}\mathrm{d} Q=\int -0{,}00028\cdot \mathrm{d} t$

$\ln(Q)=-0{,}00028\cdot t+\ln(Q_0)$

$Q(t)=Q_0\cdot e^{-0{,}00028\cdot t }$

Skriv et svar til: Differentialligninger

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.