Matematik

Differentialligningen y'=ky

07. juni 2015 af michelletiki (Slettet) - Niveau: A-niveau

Godaften

Jeg sidder og kigger på beviset for, at differentialligningen y'=ky har den fuldstændige løsning y(t)=ce^kt og jeg forstår ikke helt hjælpefunktionen z. Det er i øvrigt Gyldendals gymnasiematematik A, s. 202 hvis I har bogen.

Hjælpefunktionen lyder z = z(t) = y(t)e^-kt

Hvorfor er det den hjælpefunktion? Hvor er det opløftet i en minus konstant?

På forhånd tak for hjælpen :)

Svar #1
07. juni 2015 af michelletiki (Slettet)

Jeg forstår heller ikke, hvad der sker i lighedstegnene her:

$z'=y'e^{-kt}+y(-ke^{-kt})=y'e^{-kt}-kye^{-kt}$

Brugbart svar (0)

Svar #2
07. juni 2015 af mathon

eller

$y{\, }'=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}=ky$

$\frac{1}{y}\, \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}=k$

$\frac{1}{y}\, \textup{d}y=k\, dx$ som ved integration
giver

$\int \frac{1}{y}\, \textup{d}y=\int k\, dx$

$\ln(y)=kx+C_1$

$y=Ce^{kx}$

Brugbart svar (0)

Svar #3
07. juni 2015 af zalamander (Slettet)

I det første lighedstegn gøres der brug af produktreglen. I det andet lighedstegn skrives det blot pænere.

Brugbart svar (0)

Svar #4
07. juni 2015 af hstreg (Slettet)

#2 viser ikke fuldstændigheden af løsningen.

-------------------------------------------------------------

Bevis for fuldstændighed ved brug af "hjælpefunktionen".

1) Vis, ved at gøre prøve, på at funktionen f(x) = exp(kx) er løsningen til : f'(x) = kf(x)

2) En anden matematiker påstår nu at han har en anden løsningen h(x), forskellig fra din ( den fra 1) ) og hans løsning kan skrives på formen

h(x) = g(x)f(x) (I)

Eftersom den h(x) er løsning gælder også

$h^\prime(x) = kh(x)$ (II)

differentation af (i) giver

$\hspace{-9pt}h^\prime(x) = g^\prime(x)f(x) + g(x)f^\prime(x) \\ = g^\prime(x)f(x) + kg(x)f(x) \\ = g^\prime(x)f(x) + kh(x) \qquad\Longrightarrow \\ 0 = g^\prime(x)f(x) \qquad\Longrightarrow \\ \\ g^\prime(x) = 0 \quad\Longrightarrow\quad g(x) = konst.$

Altså er den anden matematikers løsning en konstant gange din løsning fra 1).
Men ide h(x) var valgt "pseudo" arbitrær (pånær kravet om at den løste diff. ligningen) til at begynde med, har vi altså vist at enhver løsningen til differential ligningen y'=ky kan skrives på formen y(x) = C*exp(kx).

Dette viser fuldstændigheden af løsningen.

Brugbart svar (0)

Svar #5
07. juni 2015 af mathon

$\mathbf{\color{Red} y{\, }'-ky=0}$

Når
$z(t)=y\cdot e^{-kt}$
er
$z{\, }'=y{\, }'\cdot e^{-kt}-ky\cdot e^{-kt}$

$z{\, }'=(\mathbf{\color{Red} y{\, }'-ky})\cdot e^{-kt}=0$

Når
$z{\, }'(t)=0$
er
z(t)=C(onstant)

$y(t)\cdot e^{-kt}=C$

$y(t)=C\cdot e^{kt}$

Skriv et svar til: Differentialligningen y'=ky

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.