Matematik

Bevis af differentialligningen y^'=ay(M-y)

14. juni 2015 af sara010 (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej! Jeg laver forberedelse til mundtlig eksamen (mandag d. 15), men uheldgvis har vi ikke gennemgået oventstående bevis, så jeg har INTET jeg kan 'skrive/sige' til beviset, da jeg ikke kan gennemskue hvad det er vi gør i de forskellige trin.

Er der evt. nogen som kender beviset i forvejen, som kan lave en beskrivelse af hvad man gør i de enkelte trin? Det ville være en stor hjælp! :)

Vedhæftet fil: Bevis sætningen om løsning af differentialligningen.docx

Brugbart svar (0)

Svar #1
14. juni 2015 af mathon

$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=a\cdot y\cdot (M-y)\; \; \; \; \; \; a,M\in R_+\; \wedge \; 0<y<M$

her sættes
$y=\frac{1}{u}$
hvoraf
$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} u}\cdot \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}=\frac{-1}{u^2}\cdot u{\, }'=a\cdot \frac{1}{u}\cdot \left ( M-\frac{1}{u} \right )$

$u{\, }'= -a\left ( Mu-1 \right )=-aMu+a$

$u{\, }'+aMu=a$ som løst med panserformlen
giver:
$u=\frac{1}{M}+C_1\cdot e^{-aMx}=\frac{1+MC_1\cdot e^{-aMx}}{M}=\frac{1+C\cdot e^{-aMx}}{M}$

$y=\frac{1}{u}\Leftrightarrow u=\frac{1}{y}$

$\frac{1}{y}=\frac{1+C\cdot e^{-aMx}}{M}$

$y(x)=\frac{M}{1+C\cdot e^{-aMx}}$

Svar #2
14. juni 2015 af sara010 (Slettet)

Tak for hurtigt svar! Jeg prøver bare lidt at gennemskue hvordan det 'svarer' til det bevis jeg har fået udleveret - vedhæftningen :)

Brugbart svar (0)

Svar #3
14. juni 2015 af mathon

Det er jo ligegyldigt, om der bruges variablen eller .

Svar #4
14. juni 2015 af sara010 (Slettet)

Rigtigt, men det er hvad der sker trinene imellem jeg ikke kan se - beviset har jeg jo . Eksempelvis: Hvordan bliver -1/y^2 * ay(M-y) til -1/y * a(M-y) osv

Brugbart svar (0)

Svar #5
14. juni 2015 af mathon

$-\frac{1}{y^2}\cdot ay(M-y)=-\frac{1}{y\cdot \mathbf{\color{Red} y}}\cdot \mathbf{\color{Red} y}\cdot a(M-y)=-\frac{\mathbf{\color{Red} y}}{y\cdot \mathbf{\color{Red} y}}\cdot a(M-y)=-\frac{1}{y}\cdot a(M-y)$

Skriv et svar til: Bevis af differentialligningen y^'=ay(M-y)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.