Matematik

Bevis regneregler for ubestemte integraler

16. juni 2015 af jens12234 (Slettet) - Niveau: B-niveau

Hej,

Er der en derude som har et dokument hvor de har bevist regnereglerne for ubestemte integraler - dvs. sumreglen, differensreglen og produkt af konstant og funktion reglen.

Jeg har søgt på nettet, men kan ikke finde et bevis som er beskrevet fyldestgørende nok til, at jeg forstår det.. Håber der er en som kan hjælpe mig!

Brugbart svar (0)

Svar #1
16. juni 2015 af mathon

Brug
             hvis og kun hvis F(x) er en stamfunktion til f(x)
             er
                              $\left (F(x) \right ){}'=f(x)$

Svar #2
16. juni 2015 af jens12234 (Slettet)

Altså sumreglen lyder fx således ∫f(x)+g(x) = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx

Så skal man differentiere en af siderne eller?

Brugbart svar (0)

Svar #3
16. juni 2015 af mathon

sumregel:

$h(x)=f(x)\pm g(x)$

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \int h(x)\, \textup{d}x=H(x)=\int (f(x)\pm g(x))\textup{d}x=\int f(x)\, \textup{d}x\pm \int g(x)\, \textup{d}x=F(x)\pm G(x)$

$H{\, }'(x)=h(x)=(f\pm g)(x)=f(x)\pm g(x)$

Brugbart svar (0)

Svar #4
16. juni 2015 af Therk

#2: Et ubestemt integrale:

$\int h(x)\, \mathrm dx = H(x) + k$

Lad nu

H(x) = F(x) + G(x)

Vis at

h(x) = f(x) + g(x)

(brug den første ligning i svaret her og differentiér)

$\rule{7cm}{0.4pt}$

Hvis du har vist det, så har du vist sumreglen:

$\int \bigl( f(x) + g(x) \bigr)\, \mathrm dx = \int h(x) \, \mathrm dx = \int f(x) \, \mathrm dx + \int g(x)\, \mathrm dx$

Brugbart svar (0)

Svar #5
16. juni 2015 af mathon

#4
Bemærk
H(x)=H_0(x)+k

Brugbart svar (0)

Svar #6
16. juni 2015 af mathon

$h(x)=k\cdot f(x)$

$\int h(x)\, \textup{d}x=H(x)=\int k\cdot f(x)\, \textup{d}x=k\cdot \int f(x)\, \textup{d}x=k\cdot F(x)$

H(x) er en stamfunktion til h(x) netop
når
$H{\, }'(x)=(k\cdot F(x)){\, }'=k\cdot f(x)=h(x)$

Svar #7
16. juni 2015 af jens12234 (Slettet)

Tusind tak for hjælpen - dte hjalp!

Mathon kan du forklare hvad de gør når du beviser h(x)=k*f(x)?

Brugbart svar (0)

Svar #8
16. juni 2015 af Therk

Benyt tretrinsreglen!

Skriv et svar til: Bevis regneregler for ubestemte integraler

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.