Matematik

Integrering af cirkelligning

13. august 2015 af Yipikaye - Niveau: Universitet/Videregående

Hej, jeg kunne godt tænke mig at høre hvordan man integrere ligningen for en cirkel (Helst med kartesiske koordinater).

På forhånd tak.

Brugbart svar (0)

Svar #1
13. august 2015 af LeonhardEuler

For en cirkel med centrum i (0,0) og radius r, er cirklens ligning er givet ved

x² + y² = r² ⇔ y = ± √(r² - x²)

Arealet af cirkel er da

$\textup{A}_{\textup{cirkel}}=4\cdot \int_{0}^{r}\sqrt{r^2-x^2}\ dx =4\cdot \int_{0}^{r}r\sqrt{1-\left (\frac{x}{r} \right )^2}\ dx$

Benyt substitutionen x/r = sin t og dermed dx = r cos t dt

$4\cdot \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}r^2\sqrt{1-\sin^{2}(t)}\cdot \cos(t)\ dt$

Benyt at √(1 - sin² t) = cos t for 0 ≤ t ≤ π/2 dermed

$4\cdot \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}r^2\cdot \cos^2(t)\ dt$

Benyt nu at cos² t = ( cos 2t + 1 ) / 2

$4\cdot \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}r^2\cdot\frac{\cos (2t + 1) }{2}\ dt=2\cdot r^2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos (2t + 1) \ dt=2\cdot r^2\cdot \frac{1}{2}\cdot \pi=\pi \cdot r^2$

Brugbart svar (0)

Svar #2
13. august 2015 af LeonhardEuler

Det er dog ingen hemmelighed, at hvis du skiftede til polære koordinater, så vil beregningerne være meget ligetil og simple. Her er du nødt til at se på trigonometriske identiteter, hvilket ikke er bare noget, som man lige kommer på.

Brugbart svar (0)

Svar #3
14. august 2015 af mathon

rettelse af inkonsistente parenteser:

Benyt nu at cos²(t) = ( cos( 2t) + 1 ) / 2

$4\cdot \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}r^2\cdot\frac{\cos (2t) + 1 }{2}\ dt=2\cdot r^2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left (\cos (2t) + 1 \right ) \ dt=2r^2\left [ \frac{1}{2}\cdot \sin(2t)+t \right ]_{0}^{\frac{\pi }{2}}=2\cdot r^2\cdot \left ( \frac{1}{2}\cdot \sin(\pi )+\frac{\pi }{2}-\left(\frac{1}{2}\cdot \sin(0 )+0\right) \right )=2r^2\cdot \frac{\pi }{2}=\pi \cdot r^2$

Brugbart svar (0)

Svar #4
14. august 2015 af LeonhardEuler

#3 : Tak.

Brugbart svar (0)

Svar #5
16. august 2015 af mathon

Hvis du skifter til polære koordinater, bliver beregningerne noget simplere.

$A=4\cdot \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{1}{2}\cdot r\cdot rd\theta =2r^2\cdot \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}d\theta =2r^2\cdot \frac{\pi }{2}=\pi \cdot r^2$

Skriv et svar til: Integrering af cirkelligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.