Matematik

Monotoniforhold

21. august 2015 af Daisyangel (Slettet) - Niveau: B-niveau

Hejsa

Er der en der kan fortælle mig om at det er rigtigt at der er en vendetangent ved den her funktion? Opgaven er vedhæftet. Og hvad menes der med at en funktion er hverken voksende eller aftagende udenfor dens definitionsmængde?

Vedhæftet fil: Screen Shot 2015-08-21 at 21.18.52.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
21. august 2015 af Soeffi

Brugbart svar (0)

Svar #2
21. august 2015 af mathon

En funktion, der ikke er defineret for $x\leq 0$ har ingen værdimængde for disse x-værdier og kan derfor hverken være voksende eller aftagende.

En anden måde at udtrykke det på er:
HUSK at det følgende kun gælder for positive x.

Brugbart svar (0)

Svar #3
21. august 2015 af mathon

$f{\, }'(x)=4x^3-\frac{4}{x^2}$

Svar #4
21. august 2015 af Daisyangel (Slettet)

Kan det passe at den er voksende kun og har en vendetangent?

Brugbart svar (0)

Svar #5
21. august 2015 af mathon

$f{\, }'(x)=4x^3-\frac{4}{x^2}=0$

4x^5-4=0

x^5-1=0

x^5=1

$x=\sqrt[5]{1}=1$

Brugbart svar (0)

Svar #6
21. august 2015 af mathon

$f{\, }'(x)=\underset{positiv}{\left ( \frac{4}{x^2} \right )}\cdot \overset{\mathbf{\color{Red} fortegnsbestemmende}}{\left ( x^5-1 \right )}$

$sign(f{\, }'(x))\! \! :$               -      0         +
                          0__________1__________
monotoni $f(x)\! \! :$     aftagende       voksende

Brugbart svar (0)

Svar #7
22. august 2015 af mathon

$f{\, }''(x)=12x^2+\frac{4\cdot 2x}{x^4}=12x^2+\frac{8}{x^3}> 0$ for x> 0
dvs
at $f{\, }'(x)$ er monotont voksende.

$f{\, }'(1)=0$ og $f{\, }'(3)=107{,}6$

Løsningen til
$f{\, }'(x_o)=31$ ligger derfor i det åbne interval ]1;3[

Svar #8
22. august 2015 af Daisyangel (Slettet)

hvorfor differentiere du to gange? Altså hvor får du 12x^2 fra i den afledet funktion?

Brugbart svar (0)

Svar #9
22. august 2015 af mathon

#8
$f{\, }''(x)=\left (f{\, }'(x) \right ){}'=\left (4x^3-\frac{4}{x^2} \right ){}'=4\cdot 3\cdot x^{3-1}-4\cdot \frac{-1}{(x^2)^2}\cdot 2x=12x^2+\frac{8}{x^3}>0$
Når $f{\, }''(x)> 0$ er $f{\, }'(x)\; \mathbf{\color{Red} voksende}$ .

$f{\, }'(x)=31$

x=1 er for lille x=3 er for stor!

Svar #10
22. august 2015 af Daisyangel (Slettet)

Jeg forstår stadig ikke hvorfor du differentiere to gange? Kan du ikke lige forklare mig det, for det er ikke det hvad jeg har lært i skolen om monotoniforhold, at man skal differentiere to gange.

Brugbart svar (0)

Svar #11
23. august 2015 af mathon

$f{\, }''(x)>0$ godgør, at $f{\, }'(x)$ (hældningstallet for tangenten) er voksende.

Hældningstallet $f{\, }'(1)=0$

Hældningstallet $f{\, }'(3)=107{,}6$

altså må for
$f{\, }'(x_o)=31$

x_o ligge i intervallet ]1;3[

Den "opfindsomme" matematiker kan bruge sin viden to gange (differentiere to gange).

Man ser
               $f{\, }'(x)=\frac{4}{x^2}\left ( x^5-1 \right )$
for x=2
giver:
             $f{\, }'(2)=\frac{4}{2^2}\left ( 2^5-1 \right )=1\cdot (32-1)=31$

Røringspunktet for tangenten y=31x-44
er altså
                    $(2;31\cdot 2-44)=(2;18)$

Svar #12
23. august 2015 af Daisyangel (Slettet)

Okay tror jeg forstår det hehe :) Må jeg lige spørge som det sidste hvor du får 44 tallet fra?

Brugbart svar (0)

Svar #13
23. august 2015 af mathon

Røringspunktet ligger både på grafen for tangenten y=31x-44 og for selve funktionen $f(x)=x^4+\frac{4}{x}$ :
hvorfor
$R=\left ( 2;31\cdot 2-44 \right )=\left(2;2^4+\frac{4}{2}\right)=(2;18)$

Skriv et svar til: Monotoniforhold

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.