Matematik

differentialligningsopgave

23. august 2015 af hrmogensen (Slettet) - Niveau: A-niveau

Åhh nej.. Jeg kan virkelig ikke gennemskue denne opgave. Er der eventuelt en, som kan hjælpe?

Jeg har vedhæftet et udklip af opgaven.

Mvh,
Mogensen

Vedhæftet fil: opgave.PNG

Brugbart svar (0)

Svar #1
23. august 2015 af Toonwire

Brugbart svar (0)

Svar #2
23. august 2015 af Toonwire

Differentialligningen er af typen

og har den fuldstændige løsning

$y=\frac{M}{1+c\cdot e^{-a\cdot Mx}}$

Indsæt de kendte værdier og isolér

Svar #3
23. august 2015 af hrmogensen (Slettet)

Det giver ikke rigtig mening her

Brugbart svar (0)

Svar #4
23. august 2015 af Toonwire

Udregn

Brugbart svar (0)

Svar #5
23. august 2015 af Toonwire

Kig på formen af differentialligningen:

$\\a=4.0644\cdot 10^{-6}\\ M=66750\\$

Indsæt de kendte værdier fra opgave a

N(14)=33500
Dvs.

$\\x=14\\ y=33500$

------------

Indsat:

$33500=\frac{66750}{1+c\cdot e^{-4.0644\cdot10^{-6}\cdot 66750\cdot 14}}~~~~\Leftrightarrow ~~~~ c=44.3325$

Du har altså løsningen

$N(t)=\frac{66750}{1+44.3325\cdot e^{-4.0644\cdot10^{-6}\cdot 66750\cdot t}}$

Brug denne til at regne resten af opgaven

Brugbart svar (0)

Svar #6
23. august 2015 af mathon

$N=\frac{66750}{1+Ce^{-4{,}0644\cdot 10^{-6}\cdot 66750\cdot t} }$

$N(t)=\frac{66750}{1+Ce^{-0{,}271299\cdot t} }$

$N(14)=33500=\frac{66750}{1+Ce^{-0{,}271299\cdot 14} }$

$1+Ce^{-0{,}271299\cdot 14}=\frac{66750}{33500}$

$Ce^{-0{,}271299\cdot 14}=\frac{66750-33500}{33500}$

$C=\frac{66750-33500}{33500}\cdot e^{0{,}271299\cdot 14}=44{,}2872$

Brugbart svar (0)

Svar #7
23. august 2015 af mathon

$N(t)=\frac{66750}{1+44{,}2872e^{-0{,}271299 \cdot t} }$

Brugbart svar (0)

Svar #8
23. august 2015 af Toonwire

Som #6 udregnede, skal der ligeledes stå c=44.287 . Kom til at regne med $4.06\mathbf{55}\cdot10^{-6}$

Brugbart svar (0)

Svar #9
23. august 2015 af mathon

b)
beregn
N(12)

Brugbart svar (0)

Svar #10
23. august 2015 af mathon

generelt
$\frac{\mathrm{d} N}{\mathrm{d} t}=a\cdot N\cdot (M-N)=0\; \; \; a,N\in \mathbb{R}_+\; \; N<M$

                  $a\cdot N\cdot (M-N)=-aN^2+aMN=0$
er en andengradsligning med rødderne og M, hvis parabel her nedadvendte grene.

Toppunktets førstekoordinat er derfor $N=\frac{0+M}{2}=\frac{M}{2}$ grundet symmetrien om aksen ortogonalt på x-aksen gennem toppunktet.

dvs
                    $\frac{M}{2}=\frac{M}{1+Ce^{-aM t}}$

$1+Ce^{-aMt}=2$

$Ce^{-aMt}=1$

$e^{-aMt}=C^{-1}$

$e^{aMt}=C$

$aMt=\ln(C)$

$t=\frac{\ln(C)}{aM}$

Brugbart svar (0)

Svar #11
23. august 2015 af mathon

hvoraf:
           tidspunktet hvor væksthastigheden af redeantallet
         er størst
         er:

$t=\frac{\ln(44{,}2872)}{0{,}271299}\approx 14$

dvs
14 år eftet 1978.

Brugbart svar (0)

Svar #12
23. august 2015 af mathon

alternativt
$\frac{\mathrm{d} ^2N}{\mathrm{d} t^2}=a\cdot \frac{\mathrm{d} N}{\mathrm{d} t}\cdot (M-N)+aN\cdot \left ( -\frac{\mathrm{d} N}{\mathrm{d} t} \right )=a\frac{\mathrm{d} N}{\mathrm{d} t}(M-N-N)$

dvs

$\frac{\mathrm{d} ^2N}{\mathrm{d} t^2}=a\frac{\mathrm{d} N}{\mathrm{d} t}(M-2N)$

$\frac{\mathrm{d} N}{\mathrm{d} t}$ har maksimum for $\frac{\mathrm{d}^2 N}{\mathrm{d} t^2}=0$

$\frac{\mathrm{d} ^2N}{\mathrm{d} t^2}=\underset{positiv}{\underbrace{a\frac{\mathrm{d} N}{\mathrm{d} t}}}(M-2N)=0$

hvoraf
M-2N=0

$N=\frac{M}{2}$

og
$\frac{M}{2}=\frac{M}{1+Ce^{-aM t}}$

$1+Ce^{-aMt}=2$

$Ce^{-aMt}=1$

$e^{-aMt}=C^{-1}$

$e^{aMt}=C$

$aMt=\ln(C)$

$t=\frac{\ln(C)}{aM}$

Brugbart svar (0)

Svar #13
24. august 2015 af mathon

alternativt₂:

$N=\frac{M}{1+Ce^{-aMt}}$

$\frac{\mathrm{d} N}{\mathrm{d} t}=\frac{-M\cdot Ce^{-aMt}\cdot (-aM)}{(1+Ce^{-aMt})^2}=\frac{aM^2\cdot Ce^{-aMt}}{(1+Ce^{-aMt})^2}$

$\! \! \! \! \! \! \! \frac{\mathrm{d} ^2N}{\mathrm{d} t^2}=\frac{-a^2M^3Ce^{-aMt}\cdot (1+Ce^{-aMt})^2-aM^2Ce^{-aMt}\cdot 2(1+Ce^{-aMt})\cdot (-aMCe^{-aMt})}{(1+Ce^{-aMt})^4}$

$\! \! \! \! \! \! \! \frac{\mathrm{d} ^2N}{\mathrm{d} t^2}=\frac{-a^2M^3Ce^{-aMt}\cdot (1+Ce^{-aMt})-aM^2Ce^{-aMt}\cdot 2\cdot (-aMCe^{-aMt})}{(1+Ce^{-aMt})^3}$

$\! \! \! \! \! \! \! \frac{\mathrm{d} ^2N}{\mathrm{d} t^2}=\frac{-a^2M^3Ce^{-aMt}\cdot (1+Ce^{-aMt})+2a^2M^3(Ce^{-aMt})^2}{(1+Ce^{-aMt})^3}$

$\frac{\mathrm{d} ^2N}{\mathrm{d} t^2}=\frac{a^2M^3Ce^{-aMt}(-1-Ce^{-aMt}+2Ce^{-aMt})}{(1+Ce^{-aMt})^3}$

$\frac{\mathrm{d} ^2N}{\mathrm{d} t^2}=\underset{positiv}{\underbrace{\frac{a^2M^3Ce^{-aMt}}{(1+Ce^{-aMt})^3}}}\cdot (Ce^{-aMt}-1)$

$\frac{\mathrm{d} ^2N}{\mathrm{d} t^2}=0$ kræver derfor $Ce^{-aMt}-1=0$

$Ce^{-aMt}=1$

$e^{-aMt}=C^{-1}$

$e^{aMt}=C$

$aMt=\ln(C)$

$t=\frac{\ln(C)}{aM}$

Brugbart svar (0)

Svar #14
24. august 2015 af mathon

uanset metode:
             tidspunktet hvor væksthastigheden af redeantallet
         er størst
         er:

$t=\frac{\ln(44{,}2872)}{0{,}271299}\approx 14$

dvs
14 år eftet 1978 - altså året $\mathbf{\color{Red} 1992}$

Skriv et svar til: differentialligningsopgave

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.