Matematik

Udtryk kompleks tal på polær og rektangulær form i hånden

09. september 2015 af Esterificering (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hvordan udtrykker jeg følgende komplekse tal på polær og rektangulær form i hånden?

$\frac{e^{(10-2+i\cdot \frac{\pi }{2})}}{1-i}$

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #1
09. september 2015 af mathon

$1-i=\sqrt{1^2+(-1)^2}\cdot e^{i\cdot \left ( -\frac{\pi }{4} \right )}=\sqrt{2}\cdot e^{i\cdot \left ( -\frac{\pi }{4} \right )}$

$\frac{e^8\cdot e^{i\cdot \frac{\pi }{2}}}{\sqrt{2}\cdot e^{i\cdot (-\frac{\pi }{4})}}=\frac{\sqrt{2}\cdot e^8}{2}\cdot e^{i\cdot \frac{3\pi }{4} }$

$e^8\cdot e^{i\frac{\pi }{2}}=e^8\left(\cos\left(\frac{\pi }{2}\right)+i\sin\left ( \frac{\pi }{2} \right )\right )=e^8\cdot i$

$\frac {e^8\cdot i \cdot (1+i)}{2}=-\frac{e^8}{2}+i\frac{e^8}{2}$

Svar #2
10. september 2015 af Esterificering (Slettet)

Mange tak for det hurtige svar mathon.
Har du mulighed for at knytte nogle kommentare til, så jeg kan forstå hvad der sker?

På forhånd mange tak!

Brugbart svar (1)

Svar #3
10. september 2015 af mathon

Du skal kende sammenhængen:

$z=a+ib=\sqrt{a^2+b^2}\cdot e^{i\cdot {\left (\tan^{-1}\left ( \frac{b}{a} \right ) +p\cdot \pi \right )}}\; \; \; \; \; a\neq0\; \; \; \; \; p\in \mathbb{Z}$

Brugbart svar (1)

Svar #4
10. september 2015 af mathon

$z=ib=b\cdot e^{i\cdot \left (\left ( \frac{\pi }{2} \right ) +p\cdot \pi \right )}\; \; \; \; \; p\in \mathbb{Z}$

Brugbart svar (1)

Svar #5
10. september 2015 af mathon

detaljer:

Eulers formel:
$e^{i\varphi }=\cos(\varphi )+i\sin(\varphi )$

$e^{-i\varphi }=e^{i(-\varphi) }=\cos(\varphi )-i\sin(\varphi )$
hvoraf følger:
$z=re^{i\varphi }=r\left ( \cos(\varphi )+i\sin(\varphi ) \right )=a+ib$

Brugbart svar (1)

Svar #6
10. september 2015 af mathon

$a=r\cdot \cos(\varphi )$ $b=r\cdot \sin(\varphi )$

$a^2=r^2\cdot \cos^2(\varphi )$ $b^2=r^2\cdot \sin^2(\varphi )$

a^2+b^2=r^2

$r=\sqrt{a^2+b^2}$ da regnes positiv

Skriv et svar til: Udtryk kompleks tal på polær og rektangulær form i hånden

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.