Matematik

Reverse substitution

12. september 2015 af Velella (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg har haft et regnestykke med om omvent substitution. Jeg har fået resultatet til:

$y=\frac{1}{-t^2+A}$

men mit svarark siger at skal blive til:

$y=(A-t^2)^{\frac{1}{2}}$

Af hvad jeg kan se er det bare det samme svar skrevet på en anden måde. Altså det har den samme værdi. Har jeg ret?

Brugbart svar (0)

Svar #1
12. september 2015 af mathon

Du har ikke oplyst substitutionen, hvorfor der ikke kan tages stilling til reversesubstitutionen.

Svar #2
12. september 2015 af Velella (Slettet)

ohhh. Jeg ville sådan set bare vide værden af resultatet var det samme. Men jeg kan da godt poste hele resultatet. Jeg har en første ordens differentialligning, som skal løses som seperable og som bernoulli ligning.

Jeg kender ligningen:

$\frac{dy}{dt}=-\frac{t}{y}$

Løs som seperable. Er ikke sævr at løse, vi rykke højresiden over på venstesiden, og kan derefter gange det hele med y dt, og får det derved til:

y dy+tdt=0

Løs som bernoulli ligning:

Vi skriver værdierne som vi kender udfra ligningen:

R=0, T=-t, m=-1 og $z=y^{1-m}=y^{2}$

Vi indsætter nu i:

dz+[(1-m)*Rz-(1-m)*T]dt=0

og får derved den linerasirede ligning

dz+(1-(-1))*0*y^2-(1-(1))*(-t)dt=0

Dette kan derefter omstilles til:

2tdt+dz=0

eller

$\frac{dz}{dt}=-2t$

Hvor vi har u=0 og w=-2t

Vi skal nu indsætte i:

$z(t)=e^{-\int u dt }*(A+\int w*e^{\int u dt}dt)$

$z(t)=e^{-\int 0 dt }*(A+\int -2t*e^{\int 0 dt}dt)$

Hvilket kan reduceres til

$z(t)=-t^{2}+A$

vi bruger nu baglæns substitution, med $z=y^{-1}$ eller $y=z^{-1}$ , da vi ønsker få y(t) og ikke z(t)

hvilket giver:

$y=(-t^{2}+A)^{-1}$

$y=\frac{1}{A-t^{2}}$

Svar #3
12. september 2015 af Velella (Slettet)

Dette resultat passer som sagt ikke med svararket. Det kan dog godt være at de har opstillet det på en anden måde end mig, og jeg bare ikke lige kan se det. Svararket sig som sagt at resultatet skal blive:

$y(t)=(A-t^{2})^{\frac{1}{2}}$

Brugbart svar (0)

Svar #4
12. september 2015 af mathon

$\frac{dy}{dt}=-\frac{t}{y}$

$y\, \textup{d}y=-t\, \textup{d}t$ som integreres på begge sider

$\int y\, \textup{d}y=\int -t\, \textup{d}t$

$\frac{1}{2}y^2=-\frac{1}{2}t^2+\frac{1}{2}A$

$y^2=-t^2+A\; \; \; \; \; -\sqrt{A}\leq t\leq \sqrt{A}$

$y=\pm \sqrt{-t^2+A}$

$y=\pm (-t^2+A)^{\frac{1}{2}}$ hvor den negative løsning sandsynligvis ikke er relevant.

Svar #5
12. september 2015 af Velella (Slettet)

Har jeg så lavet en regnefejl. Eller mit første svar rigtigt?

Brugbart svar (0)

Svar #6
12. september 2015 af mathon

$y=\left (-t^2+A \right )^{\frac{1}{2}}=\left (A-t^2 \right )^{\frac{1}{2}}\neq \frac{1}{-t^2+A}$

Svar #7
12. september 2015 af Velella (Slettet)

Jeg ikke umiddelbart se hvor min regnefejl er så.

Svar #8
12. september 2015 af Velella (Slettet)

Okay Jeg har fundet min fejl!. Min fejl er i min tidligere z værdi, som z= y^2 og ikke z =y^-1. Tak for hjælpen! :D

Skriv et svar til: Reverse substitution

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.