Brug af ligninger

Trekantsareal
                                   når b = c er den ligesidede trekants ben

                             
Kordeformlen giver:
                                  

Du skal ikke bruge trigonometri her. Der er en bedre måde:

Tegn en skitse af trekanten. Vinklerne kaldes A, B og C, således at A og C er 72 grader hver. Da vinkelsummen er 180 grader, er der 36 grader tilbage til vikel B, men det er præcis halvdelen af de 72 grader.

Hvis du halverer vinkel A, vil den blive delt i to vinkler hver på 36 grader. Den ene har benet AC, mens dens andet ben skærer BC i punktet D. Her bruger du igen vinkelsummen til at finde vikel ADC. Vinkel BAD er også 36 grader ligesom vinkel B, så trekant ADB er ligebenet med D som toppunkt. Herudfra kan du se, at |BD| = |AD| = |AC|

Desuden: Trekant CAD er ensvinklet med trekant ABC. Derfor er deres ensliggende sider proportionale.

Bruger du dette, kan du opstille en andengradsligning, hvoraf du kan finde forholdet mellem |AC| og |AB|

Ved hjælp af pythagoras kan du finde forholdet mellem AC og højden fra B. Til sidst kan du finde arealet udtrykt ved |AC|.

Grunden til, at jeg fremhæver denne metode er, at du beregner det sideforhold, som kaldes det gyldne snit og benyttes meget i billedkunsten. Det dukker op i mange andre sammenhænge.

Jeg tror ikke helt jeg er med på hvad du mener??..

#2
        I denne opgave er det overkill at gå over det gyldne snit.

#3 Prøv at lave tegningen med blyant og papir. Jeg har tegnet det i GeoGebra.

#4 Med valget 72º er der lagt op til denne løsning. Den kan iøvrigt bruges af personer, der endnu ikke har lært trigonometri. Iøvrigt har du glemt at regne højden ud.

Men hvordan finder jeg så sidelængderne?

Vinkel CAD er 36 graderog vinkel C er 72 grader. Derfor er vinkel ADC 72 grader, så trekant CAD er ligebenet. med samme vinkler som trekat ABC. Da trekant CAD er ligebenet, er |AD| = |AC|.

Vinkel DAB er 72 grader - 36 grader = 36 grader, hvilket er det samme som vinkel B, så trekant ADB er ligebenet. Derfor er |BD| = |AD|.

Derudover har vi, at |BC| = |BD|+|DC|.

Da trekant ABC og trekant CAD er ensvinklede, er ensliggende sider proportionale:

Vi kalder |CD| for s og |AC| for s*φ. Så får vi:

Vi regner videre med de to sidste brøker, hvor vi forkorter s ud:

Her ganger vi på begge sider af lighedstegnet med (1+φ)φ:

φ² = 1+φ.

Denne andengradsligning løser vi og finder φ, der er forholdet mellem sidelængderne i både den store og den lille trekant.