Matematik

Taylorpolynomium

29. oktober 2015 af Bygningsdesigneren (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hej,

Jeg har lidt problemer med dette Taylorpolynomium der skal regnes i hånden

$g(t)=e^{21t}$

med udviklingspunkt $\pi /2$

Jeg har brugt Maple til at finde f(0)=e, f'(0)=sin(21)*e og $f''(0)=sin(21)^{2}*e^{\pi /2*sin(21)\pi }$

For det første synes jeg måske ikke at det virker rigtigt, og for det andet når jeg løser ligningen i Maple, får jeg et meget langt udtryk.

Så er der nogen der kan hjælpe?

Brugbart svar (0)

Svar #1
29. oktober 2015 af Therk

Er dit udviklingspunkt ikke π/2? Der er vist også differentieret forkert.

$g(t) = e^{21t} \Rightarrow g'(t) = 21 e^{21t}$

og dit Taylorpolynomium er givet som

$g(t) = g(s) + \frac{g'(x)}{1!}(t-s) + \frac{g''(x)}{2!}(t-s)^2 + O(t^3)$

Alle afledte af eksponentialfunktionen er trivielle i hånden.

Tjek evt. med følgende Maple-kode:

taylor(exp(21*t),t=s,3);
subs(s=Pi/2,%);

Det er gjort på to linjer, så vi nemmere kan se hvad der sker - først når vi har overbevist os om hvordan den har beregnet, substitueres s med de pi halve (π/2).

Brugbart svar (0)

Svar #2
29. oktober 2015 af mathon

$g_2(t) = g\left ( \frac{\pi }{2} \right ) + \frac{(t-\frac{\pi }{2})}{1!}\cdot g'\left(\frac{\pi }{2}\right) + \frac{(t-\frac{\pi }{2})^2}{2!}\cdot g''\left(\frac{\pi }{2}\right)$ uden restled

$g_2(t) =e^{\frac{21\pi }{2}}+ \left(t-\frac{\pi }{2}\right)\cdot 21e^{\frac{21\pi }{2}} + \frac{(t-\frac{\pi }{2})^2}{2}\cdot 441e^\frac{21\pi}{2}$

Svar #3
29. oktober 2015 af Bygningsdesigneren (Slettet)

hov fik ikke det hele med i ligningen at den hed $e^{sin(21t)}$

men i Maple får jeg så følgende (vedhæftet fil)

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2015-10-29 kl. 11.27.27.png

Brugbart svar (0)

Svar #4
29. oktober 2015 af Therk

Du må hellere lige skrive dit udtryk rigtigt op: Du har en stjerne efter sin i dit udtryk - ret til

exp(sin(21*t))

i stedet for

exp(sin*(21*t))

Og hvis du blot skal lave udregningerne i Maple og ikke i hånden, så kan Maple let reducere udtrykket (væsentligt) med simplify(%); efter subs(...);

Svar #5
29. oktober 2015 af Bygningsdesigneren (Slettet)

Så ender det med at se sådan ud.

Men jeg skal også lave det i hånden

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2015-10-29 kl. 11.44.44.png

Brugbart svar (0)

Svar #6
30. oktober 2015 af Therk

Det ser fint ud. Maple har jo lavet det for dig, så der er ikke så meget hokus pokus.

$\rule{7cm}{0.4pt}$

Når du skal gøre det i hånden, så beregn først sin(21a):

$\begin{align*} \sin(21a) &= \sin\Big(\frac{21\pi}{2}\Big) = \sin\Big(5\cdot 2\pi+\frac\pi2\Big) = 1 \color{blue} \Rightarrow \cos(21a) = 0 \end{align*}$

Det er i hvert fald meget nemt at arbejde med! :) Herfra kan du så blot substituere sin(21a) med 1 i alle dine mellemregninger. Det i blå skal vi sikkert også bruge senere.

Lav derefter et skema, hvor du lister alt du skal bruge for at differentiere g(t) - da vi skal bruge kædereglen til at differentiere g(t), definerer vi de to funktioner. For at differentiere h(t) er kædereglen også brugt. Hvis du ikke er komfortabel med det, kan du også skrive den som en komposition af to andre funktioner.

$\setlength{\jot}{8pt}\begin{align*} g(t) &= e^{\sin(21t)} \stackrel{\text{def}}= f(h(t)), \\ f(t) &= e^t && \Rightarrow f'(t) = f(t)\\ h(t) &= \sin(21t)\quad &&\Rightarrow h'(t) = 21\cos(21t)\end{align*}$

Alt sammen er ved hjælp af kædereglen. Nu kan du så lave et skema med dine afledte taget i a:

$\begin{align*} g(a) &= \underline{\hspace{3cm}} =e^1\\\\ g'(a) &= \underline{\hspace{3cm}} = 0 \\\\ g''(a) &= \underline{\hspace{3cm}} =-441e^1\end{align*}$

Jeg har lavet de barer, for at indikere at når du laver opgaven i hånden skal du naturligvis have mellemregningerne med, men du ved heldigvis hvad de forskellige led skal give, så det er nemt for dig at kontrollere.

Vær opmærksom på at have tungen lige i munden, når du differentierer g anden gang. Husk, til det, både kædereglen reglen herunder, så burde du være i hus.

$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} f(t)\cdot h(t) = f'(t)\cdot h(t) + f(t)\cdot h'(t)$

Skriv et svar til: Taylorpolynomium

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.