Matematik

Hjjjjælp

09. november 2015 af danaaa111 (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hej, jeg har virkelig brug for hjælp til de opgave

1. Bestemt henholdsvis sin?arcsin(−0,2), arcsin?sin(π/7), arcsin?sin(9π) og cos?arcsin( √ 2/2) uden brug af lommeregner. Anfør argument for resultaterne. 2. Vis at arcsin er voksende på sin definitionsmængde.

2. Vis at arcsin er voksende på sin definitionsmængde.

på forehånd tak.

Brugbart svar (0)

Svar #1
09. november 2015 af mathon

sin(arcsin(x)) = x

arcsin(sin(x)) = x

2.
$\frac{\mathrm{d} \, arcsin}{\mathrm{d} x}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}>0\; \; \; \; \; \; \; -1<x<1$

Brugbart svar (0)

Svar #2
09. november 2015 af Therk

Jeg er ikke sikker på hvad "sin?arcsin" skal betyde, men der gælder at arcsin er en af de inverse trigonometriske funktioner, dvs.

$\arcsin(\sin(x)) = x = \sin(\arcsin(x)), \quad x \in[-1,1]$

Du kan nemt finde ud af det, hvis du tænker på problemet geometrisk. Der gælder, med gymnasienotation, at

$\sin(\theta) = \frac{\text{mod}}{\text{hyp}}$

dvs. vinklen kan findes ved

$\theta = \arcsin\Big(\frac{\text{mod}}1\Big)$

for en hypotenuse = 1.

$\rule{7cm}{0.4pt}$

Husk evt. at sinus- og cosinusfunktionerne er periodiske med periode 2π, dvs.

$\sin(x) = \sin(x+2n\pi), \quad n\in \mathbb N$

Brugbart svar (0)

Svar #3
09. november 2015 af mathon

$\cos\left ( \arcsin\left ( \frac{\sqrt{2}}{2} \right ) \right )=\sqrt{1-\left (\sin\left (\arcsin\left ( \frac{\sqrt{2}}{2} \right ) \right ) \right )^2}=\sqrt{1-\left ( \frac{\sqrt{2}}{2} \right )^2}=$

$\sqrt{1-\frac{2}{4}}=\sqrt{\frac{4}{4}-\frac{2}{4}}=\sqrt{\frac{2}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

eller

$\cos\left ( \arcsin\left ( \frac{\sqrt{2}}{2} \right ) \right )=\cos\left ( \frac{\pi }{4} \right )=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Svar #4
09. november 2015 af danaaa111 (Slettet)

jeg kan desværre ikke helt forstår den:-( så det vil være dejligt med lidt forklaring.

Brugbart svar (0)

Svar #5
09. november 2015 af Therk

Så bliver du nødt til at uddybe hvad du kan og ikke kan finde ud af. Du har både fået en udførlig løsning af dine opgaver og en forklaring. Hvad forstår du ikke og hvor sker der ting, som du ikke forstår?

Brugbart svar (0)

Svar #6
09. november 2015 af Eksperimentalfysikeren

sin?arcsin(−0,2), arcsin?sin(π/7), arcsin?sin(9π) og cos?arcsin( √ 2/2)

Du skal benytte, at arcsin er den omvendte til sin. Definitionsmængden er [-1;1] og værdimængden [-π/2;π/2].

Så længe x ligger indenfor definitionsmængden gælder sin(acsin(x)) = x. Hvis v ∈ [-π/2;π/2] gælder tilsvarende arcsin(sin(v)) = v.

Det skulle klare de to første spørgsmål.

I det tredie er v udenfor intervallet [-π/2;π/2]. Et forsø på at løse problemet ved at trække et passende antal 2π fra hjælper på det, men ikke nok: v₁ = 9π - 4*2π = π. Her kan man benytte, at sin(π-v₁) = sin(v₁), specielt sin(π) = sin(0), og så ligner det spørgsmål 2.

I det sidst tilfælde benyttes at sin²(v) + cos²(v) = 1

Dette omskrives til

$cos(v) = \pm \sqrt{1-sin^{2}(v)}$

I intervallet [-π/2;π/2] er cos ikke negativ, så vi kan se bort fra det negative fortegn.

I formlen indsættes arcsin:

$cos(arcsin(\sqrt{2}/2)) = \sqrt{1-sin^{2}(arcsin(\sqrt{2}/2))}$

Skriv et svar til: Hjjjjælp

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.