Matematik

Bestem koordinatsættet til hvert af de to røringspunkter for tangenter.

16. november 2015 af lglglgmama - Niveau: A-niveau

Jaa...Overskrift siger det hele.

Jeg skal bestemme bestemme til hvert af de to røringspunkter for tangenter.

Data: En cirkel har ligningen (x-3)²+(y-5)²=25, og linje m har ligningen y = 4/3*x

Jeg ved at tangentkravet for røringspunkter er (x₀, y₀)

Jeg har regnet ud at y-koordinatet hedder 29/4-3/4*x₀. Hvordan skal jeg beregne x ud?

Brugbart svar (0)

Svar #1
16. november 2015 af peter lind

Hvilken tangenter ? Kom med hele opgaven

Brugbart svar (0)

Svar #2
16. november 2015 af mathon

Den opgavetekst er ikke særlig klar:

En cirkel har ligningen (x-3)²+(y-5)²=25, og linjen m har ligningen y = 4/3*x

Jeg ved at tangentkravet for røringspunkter er (x₀, y₀)

Svar #3
16. november 2015 af lglglgmama

Ups, det må I undskylde for.

Opgaveformulering: En cirkel har ligningen (x-3)²+(y-5)²=25, og linjen m har ligningen y=4/3x

a) Gør rede for, at førsteaksen er tangent til cirklen. Den har jeg løst og kommer frem til førsteaksen er tangent til cirklen i og med der kun er en ligning når jeg sætter y = 0 og løser med hensyn til x.

b) Cirklen har to tangenter, der er parallelle med linje m. Bestem koordinatsættet til hvert af de to røringspunkter for tangenterne.

Brugbart svar (0)

Svar #4
16. november 2015 af mathon

(x-3)^2+(y-5)^2=25
hvoraf
$\frac{\mathrm{d} y }{\mathrm{d} x}=-\frac{(x-3)}{\pm \sqrt{25-(x-3)^2}}=\frac{4}{3}$

med løsningerne
$x=\left\{\begin{matrix} -1\\ 7 \end{matrix}\right.$
dvs røringspunkterne:
R_1(-1,8) og R_2(7,2)

Svar #5
16. november 2015 af lglglgmama

Whaaaaat? Benytter du formlen for andengradsligning når du regner x ud? Hvis ja, hvordan kommer du så frem til røringspunkter?

Brugbart svar (0)

Svar #6
16. november 2015 af peter lind

Her er en anden metode til at løse opgaven. Radiusvektor står vinkelret på tangenten til en cirkel så find ligningen for den linje, der går gennem centrum og står vinkelret på m. Denne linjes skæringspunkt med cirklen er de søgte punkter.

Brugbart svar (0)

Svar #7
08. februar 2018 af Trojanskhest

#4 Hvilken formel er det du bruger? Hvordan finder du løsninger, altså x-værdier og y-værdierne?

Brugbart svar (0)

Svar #8
08. februar 2018 af mathon

$\small \textup{detaljer:}$

$\small (x-3)^2+(y-5)^2=25$

$\small \textup{Ved implicit differentiation med hensyn til x}$
$\small \textup{har man:}$
$\small 2(x-3)+2(y-5)\cdot \tfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=0$

$\small (x-3)+(y-5)\cdot \tfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=0$

$\small \small (x-3)+(y-5)\cdot \mathbf{\color{Red} \tfrac{4}{3}}=0$

$\small 3(x-3)+(y-5)\cdot 4=0$

$\small (y-5)=-\tfrac{3}{4}(x-3)$ $\small \textup{som indsat i cirklens ligning}$

$\small \textup{giver:}$
$\small \left ( x-3 \right )^2+\left (-\tfrac{3}{4}\left ( x-3 \right ) \right )^2=25$

$\small \left ( x-3 \right )^2+\tfrac{9}{16}\left ( x-3 \right )^2=25$

$\small \left (1+\tfrac{9}{16} \right )\left ( x-3 \right )^2=25$

$\small \tfrac{25}{16} \left ( x-3 \right )^2=25$

$\small \left ( x-3 \right )^2=16$

$\small \left ( x-3 \right )=\mp 4$

$\small x =3\mp 4$

$\small x =\left\{\begin{matrix} -1\\7 \end{matrix}\right.$

Brugbart svar (0)

Svar #9
08. februar 2018 af mathon

korresponderende med
https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=1809357

Brugbart svar (0)

Svar #10
09. februar 2018 af mathon

$\small \textup{Tangenth\ae ældning }\tfrac{4}{3}$
$\small \textup{kr\ae ver:}$
$\small \begin{matrix} -2<x<3\\ 5<y<10 \end{matrix}$ $\small \textup{eller}$ $\small \textup{\begin{matrix} 3<x<8\\0<y<5 \end{matrix}}$

Brugbart svar (0)

Svar #11
09. februar 2018 af mathon

$\small \textup{alternativt:}$
$\small \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \textup{De to s\o gte tangenter har retningsvektor }\overrightarrow{r}=\begin{pmatrix} 3\\4 \end{pmatrix}\textup{ og dermed normalvektor }\overrightarrow{n}=\begin{pmatrix} -4\\3 \end{pmatrix}$ $\small \left | \overrightarrow{n} \right |=\sqrt{4^2+3^2}=5$

$\small \textup{Set fra centrum (3,5) ligger det ene r\o ringspunkt i afstanden 5 i normalvektorens retning og}$
$\small \textup{og det andet r\o ringspunkt i afstanden 5 modsat normalvektorens retning}$

$\small \textup{hvoraf:}$
$\small \overrightarrow{OP_o}=\overrightarrow{OC}\pm r\cdot \frac{\overrightarrow{n}}{\left | \overrightarrow{n} \right |}$

$\small \begin{pmatrix} x_o\\y_o \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\\5 \end{pmatrix}\pm \frac{5}{5}\cdot \begin{pmatrix} -4\\3 \end{pmatrix}$

$\small \begin{pmatrix} x_o\\y_o \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\\5 \end{pmatrix}\pm \begin{pmatrix} -4\\3 \end{pmatrix}$

$\small \left ( x_o,y_o \right )=(-1,8)$ $\small \textup{og}$ $\small \left ( x_o,y_o \right )=(7,2)$

$\small \textup{da et punkt har samme koordinater som sin stedvektor.}$

Brugbart svar (2)

Svar #12
12. februar 2018 af mathon

$\small \textup{detaljer fortsat:}$
   $\small \textup{N\aa r }\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}> 0\textup{ ligger r\o ringspunktet p\aa \ \o verste venstre kvartcirkel eller p\aa \ nederste h\o jre kvartcirkel}$
   $\small \textup{hvoraf:}$
    $\small \textup{for \o verste venstre kvartcirkel:}$

$\small y_o=b+\sqrt{r^2-(\mathbf{\color{Blue} x_o}-a)^2}$
$\small y_o=5+\sqrt{5^2-(\mathbf{\color{Blue} -1}-3)^2}=5+3=\mathbf{\color{Red} 8}$

$\small \textup{r\o ringspunkt:}$
$\small \left ( x_o,y_o \right )=(-1,8)$

$\small \textup{hvoraf:}$
$\small \textup{for nederste h\o jre kvartcirkel:}$

$\small y_o=b-\sqrt{r^2-(\mathbf{\color{Blue} x_o}-a)^2}$
$\small y_o=5-\sqrt{5^2-(\mathbf{\color{Blue} 7}-3)^2}=5-3=\mathbf{\color{Red} 2}$

$\small \textup{r\o ringspunkt:}$
$\small \left ( x_o,y_o \right )=(7,2)$

Brugbart svar (2)

Svar #13
12. februar 2018 af mathon

$\small \textup{alternativ til }\#8\textup{:}$
$\small \textup{f\o rstekoordinaterne til r\o ringspunkterne}$
$\small \small \textup{kunne ogs\aa \ v\ae re fundet ved brug af formlen:}$

$\small x_o=a\mp \tfrac{r}{\sqrt{1+\left (\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} \right )^{-2}}}$

$\small x_o=3\mp \tfrac{5}{\sqrt{1+\left( \tfrac{4}{3} \right )^{-2}}}$

$\small x_o=3\mp \tfrac{5}{\sqrt{1+\tfrac{9}{16}}}$

$\small x_o=3\mp \tfrac{5}{\sqrt{\tfrac{25}{16}}}$

$\small x_o=3\mp \tfrac{5}{\tfrac{5}{4}}$

$\small x_o=3\mp \tfrac{5\cdot 4}{5}$

$\small x_o=3\mp 4$

$\small x_o=\left\{\begin{matrix} -1\\ 7 \end{matrix}\right.$

Skriv et svar til: Bestem koordinatsættet til hvert af de to røringspunkter for tangenter.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.