Matematik

Taylorpolynomier

02. december 2015 af AlmostDoneO - Niveau: Universitet/Videregående

er der nogen der kan hjælpe med at løse denne opgave i hånden?

Og hvordan løser jeg d i Maple?

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2015-12-02 kl. 14.39.04.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
02. december 2015 af peter lind

Både denne her og din foregående tråd. Hvad er problemet ? Kender du ikke Taylorpolynomiet ?

Brugbart svar (0)

Svar #2
02. december 2015 af Therk

Hvorfor vil du lave d) i Maple?

Svar #3
05. december 2015 af AlmostDoneO

Jeg vil lave d i Maple så jeg har det til eksamen, der skal vi aflevere et Mapleworksheet. Så jeg vil bare gerne være forberedt.

Brugbart svar (0)

Svar #4
05. december 2015 af Therk

d) kan du ikke rigtig lave i Maple - well, det kan du godt, men det kræver at du sådan set allerede har svaret.

Du får at vide hvordan dine taylorpolynomier opfører sig for alle n, altså

$\tilde f_{2n-1}(1) = 0$ .

Det betyder at vi kan definere en funktion, hvis argument er polynomiets orden:

$g(n) \stackrel{\text{def}}= \tilde f_{2n-1}(1) = 0$

men så er g(n) bare den konstante funktion nul. Og hvad er nu grænsen af den?

$\lim_{n \rightarrow \infty} g(n) = \lim_{n \rightarrow \infty} 0 = 0.$

Så

$\lim_{n \rightarrow \infty} f(1) - g(n) = \frac 1{1+1}-0 \neq 0$

Problemet med at gøre det i Maple er at du skal bede Maple om det "uendelige" taylorpolynomie - Maple går så bare i gang med at regne, men får jo aldrig instruks om at den er færdig.

$\rule{7cm}{0.4pt}$

Jeg har lavet lidt Maple-kode, som måske kan overbevise dig. Du kan evt. gå op i "Insert"-menuen og indsætte "Code Edit Region" og indsætte det i den - så er det lettere at læse. Du eksekverer linjerne med CTRL+E i stedet for ENTER, når du er i en code edit region.

## Definer funktionen
f := t -> (t+1)^(-1);

## Udviklingspunkt
a := 0;

## Taylorpolynomiets orden som funktion af n.
g := n -> mtaylor(f(t), t = a, 2*n-1);

## Lav en tekstvektor med de funktioner,
## du ønsker at se i plotvinduet
graphs := ["f(t)","g(2)","g(3)","g(4)","g(5)"]:

## Plot funktionerne
plot([seq(eval(parse(graphs[i])),i = 1..numelems(graphs))],
     t = 0..1.5,
     view = 0..2,
     linestyle = [solid,seq(dash,i=1..numelems(graphs)-1)],
     legend = graphs);

## Det ser ud til at alle taylorpolynomier har værdi 1 for t = 1.
## Test de første 200 tilfælde.
"g(1-200)" = seq(subs(t = 1,g(n)),n = 1..100);

## Det betyder ikke nødvendigvis at det altid gælder.
## Vi kan ikke tage grænseværdien af g(n) for n gående mod uendelig
## Den skulle have været fundet med:
    # limit(g(n), n = infinity)
## Men det får Maple til at beregne uden ende.

Alternativt, som jeg skrev til at starte med:

f := t -> (t+1)^(-1);
g := n -> 0;

limit(f(1)-g(n), n = infinity);
is(%);

men den kode viser ikke overvejelserne.

Skriv et svar til: Taylorpolynomier

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.