Matematik

Bevise sætninger med ledelinje og brændpunkt

12. december 2015 af JonathanAznar (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej, det står sådan, at jeg skal bevise nogle sætninger, som jeg selv bestemmer med ledelinje og brændpunkt.

Den eneste sætning jeg kender til er, at afstanden fra ledelinjen til et punkt og afstanden fra brændepunktet til samme punkt, er samme afstand vil det være en parabel.

Andre sætninger har jeg ikke. Håber nogle kan give noget input og hvis, så uddybe

mvh

Jonathan

Brugbart svar (0)

Svar #1
13. december 2015 af mathon

Keglesnit:

Lad der være givet en linje , et punkt , der ikke ligger på , og et tal $e\in\mathbb {R}_+.$

Vi vil undersøge mængden af punkter i planen, hvis afstande $\left |PF \right |$ fra og $\left | Pl \right |$ fra
har forholdet
dvs punktmængden

$K=\{P\; |\; \left | PF \right |=e\left | Pl \right |\}.$

Denne punktmængde kaldes et keglesnit, med som ledelinje, som brændpunkt og som eksentricitet.

Mængderne
$\{P\; |\; \left | PF \right |<e\left | Pl \right |\},$ $\{P\; |\; \left | PF \right |>e\left | Pl \right |\}$

kaldes henholdsvis det indre og det ydre for for keglesnittet Det bemærkes, at brændpunktet tilhører det indre og ledelinjen det ydre for

Brugbart svar (0)

Svar #2
13. december 2015 af mathon

For at finde en ligning for vælges et ortonormalt koordinatsystem $(F,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ således at 2.aksen er parallel med med og at tilhører dens negative halvplan. Idet afstanden $\left |Fl \right |$ mellem og betegnes med er
x=-d en ligning for
Man har da
                         $K\! \! :\; \; \{P(x,y)\; |\; \sqrt{x^2+y^2}=e\left | x+d \right |\},$
altså at
                                    $\sqrt{x^2+y^2}=e\left | x+d \right |$
er en ligning for
Den er ensbetydende med
                        $\bold{\color{Red} 1)}$         $x^2+y^2=e^2\left ( x+d \right)^2$ .

Keglesnittet er symmetrisk om 1.aksen. Af 2.aksen indeholder punkterne C_1(0,ed) og C_2(0,-ed).
Sædvanligvis kaldes afstanden $\left | C_1C_2 \right |$ for keglesnittets parameter og den betegnes med For parameteren gælder derfor
p=2ed .

Ligningen for ledelinjen kan da skrives $x=-\frac{p}{2e}$
og $\bold{\color{Red} 1)}$ skrives
$x^2+y^2=e^2\left ( x+\frac{p}{2e} \right )^2$
hvilket er ensbetydende med

$\bold{\color{Red} 2)}\; \; (1-e^2)x^2+y^2-pex-\tfrac{1}{4}p^2=0.$

Dette viser, at ethvert keglesnit $K=\{P\; |\; \left | PF \right |=e\left | Pl \right |\}$ er en andengradskurve.

Keglesnittet $\bold{\color{Red} 2)}$ kaldes for
e<1 for en ellipse specifikt for e=0 for en cirkel

e=1 for en parabel
e>1 for en hyperbel.

Svar #3
13. december 2015 af JonathanAznar (Slettet)

Tusind tak for svaret, Mathon! Dog forstår jeg ikke det hele for at være ærlig.

Kunne du måske skrive i ord, hvad du gør? Bare sådan kort, således jeg selv kan tænke over det, og måske over komme med betegnelser for, hvad de forskellige symboler betyder?

Igen, mange gange tak!

Jonathan

Skriv et svar til: Bevise sætninger med ledelinje og brændpunkt

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.