Matematik

Find stationært punkt via at bruge lm på funktion

20. december 2015 af Bornsommer (Slettet) - Niveau: A-niveau

$f(x,y)=(x+1)^{2}*e^{-0.5x^2-(y-2)^2}$

a. Vis at (1,2) er et stationært punkt for f (et stationært punkt (x,y) for f er et punkt, hvor alle partielle afledede er 0). Anvendt at g(x, y) = ln f(x, y).

Så jeg skal sætte lm om det hele af funktionen, hvorved jeg nok har kædereglen. hvorved lm er det ydre, og resten så er det indre. Men hvordan differentiere jeg det indre, som er funktionen f?

Brugbart svar (0)

Svar #1
20. december 2015 af peter lind

Du har misforstået tippet. Da logaritmefunktionen er monoton voksende vil stationære punkter for f(x) og g(x) være de samme. Ved at bevise at g(x) har stationært punkt i (1,2) har du dermed også vist at det er et stationært punkt i f(x)

Brugbart svar (0)

Svar #2
20. december 2015 af Toonwire

Jeg kan ikke rigtig se nødvendigheden i at tage den naturlige logaritme til , men vi kan da godt differentiere . Dette gøres ved at differentiere det indre som et produkt:

$\\g(x,y)=ln\left((x+1)^2\cdot e^{-0.5x^2-(y-2)^2} \right )\\\\ \Rightarrow~~g'_x(x,y)=\left((x+1)^2\cdot e^{-0.5x^2-(y-2)^2}\right)^{-1}\cdot2(x+1)\cdot 1\cdot e^{-0.5x^2-(y-2)^2}\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\cdot (x+1)^2\cdot e^{-0.5x^2-(y-2)^2}\cdot (-x+0)\\\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~= \frac{2(x+1)\cdot e^{-0.5x^2-(y-2)^2}-x(x+1)^2\cdot e^{-0.5x^2-(y-2)^2} }{(x+1)^2\cdot e^{-0.5x^2-(y-2)^2}}$

Differentationen mht y er langt nemmere:

$\Rightarrow~~g'_y(x,y)=\left(ln\left( e^{-(y-2)^2} \right ) \right )'=\left( -(y-2)^2\right )' = -2(y-2)=-2y+4$

Sæt disse lig 0 og se, at løsningen er hhv x=1 og y=2 - altså det søgte stationære punkt

Skriv et svar til: Find stationært punkt via at bruge lm på funktion

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.