Matematik

Differentialligninger - calculus

22. december 2015 af cykelsmeden (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg har en teori om at jeg skal omskrive brøkerne til noget jeg kan bruge, ellers kan jeg godt løse dem hvis de eksempelvis hedder: 2y'' + 7y' - 4y = 0

Jeg har vedhæftet et screenshot af opgaverne. Håber i kan hjælpe og god jul!

Vedhæftet fil: Screen Shot 2015-12-22 at 12.00.26.png

Svar #1
22. december 2015 af cykelsmeden (Slettet)

Ah jeg tror i anden opgaver er d^2y/dx^2=y'' Jeg prøver lige at løse

Brugbart svar (1)

Svar #2
22. december 2015 af mathon

Karakterligningen
2r^2+7r-4=0

$r=\left\{\begin{matrix} -4\\\frac{1}{2} \end{matrix}\right.$

Løsning til
differentialligningen:

$y=C_1e^{\frac{1}{2}x}+C_2e^{-4x}$

Brugbart svar (1)

Svar #3
22. december 2015 af mathon

Den fuldstændige løsning til
den homogene differentialligning

$\frac{\mathrm{d} ^2y}{\mathrm{d} x^2}+2\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}+2y=0$

$y_h(x)=e^{-x}\left ( C_1\cos(x)+C_2\sin(x) \right )$

En partikulær løsning
til
$\frac{\mathrm{d} ^2y}{\mathrm{d} x^2}+2\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}+2y=x+e^x$
er
$y_p(x)=\frac{2e^x+5(x-1)}{10}$

Den fuldstændige løsning
til
                                       $\frac{\mathrm{d} ^2y}{\mathrm{d} x^2}+2\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}+2y=x+e^x$
er derfor
                $y(x)=y_h(x)+y_p(x)=e^{-x}(C_1\cos(x)+C_2\sin(x))+\frac{2e^x+5(x-1)}{10}$

Brugbart svar (0)

Svar #4
22. december 2015 af mathon

da
karakterligningen

r^2+2r+2=0
har løsningerne
$r=-1\pm i$

Svar #5
22. december 2015 af cykelsmeden (Slettet)

Svar #6
22. december 2015 af cykelsmeden (Slettet)

En partikulær løsning
til
$\frac{\mathrm{d} ^2y}{\mathrm{d} x^2}+2\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}+2y=x+e^x$
er
$y_p(x)=\frac{2e^x+5(x-1)}{10}$

Hvad 'gætter' du for at omskrive x+e^x for at få noget brugbart? Jeg tænker fx Ae^t+B

Brugbart svar (0)

Svar #7
22. december 2015 af YesMe (Slettet)

Skammer du dig over den ældste tradition, der drejede sig om at lege sin egen pikansjos i skjult, mens børnene åbner gaverne ved det stinkende juletræ? Det er ærgerligt, at de ikke indser sandheden bag mandens smil.

Svar #8
22. december 2015 af cykelsmeden (Slettet)

#7
Skammer du dig over den ældste tradition, der drejede sig om at lege sin egen pikansjos i skjult, mens børnene åbner gaverne ved det stinkende juletræ? Det er ærgerligt, at de ikke indser sandheden bag mandens smil.

juletræer dufter godt

Brugbart svar (1)

Svar #9
22. december 2015 af mathon

Ae^t+ Bx + C

Svar #10
22. december 2015 af cykelsmeden (Slettet)

#9
Ae^t+ Bx + C

Når jeg regner videre får jeg at:
y_p=Ae^t+Bx+C
y'_p=Ae^t+B
y''_p=Ae^t

Og indsætter får jeg:

5Ae^t+4B+C=e^x+x

Hvordan løser jeg ligningen?

Brugbart svar (1)

Svar #11
22. december 2015 af mathon

Med gættet
                        y_p(x)=Ae^x+Bx+C
   har man
                        $y_p{\, }'(x)=Ae^x+B$

                        $y_p{\, }''(x)=Ae^x$
som ved indsættelse i

                    $\frac{\mathrm{d} ^2y}{\mathrm{d} x^2}+2\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}+2y=x+e^x$
giver
                       $Ae^x+2\cdot (Ae^x+B)+2\cdot (Ae^x+Bx+C)=x+e^x$

Ae^x+2Ae^x+2B+2Ae^x+2Bx+2C=x+e^x

5Ae^x+2Bx+2B+2C=e^x+x

hvoraf
$5A=1\Leftrightarrow A=\frac{1}{5}$

$2B=1\Leftrightarrow B=\frac{1}{2}$

                       $2B+2C=0\Leftrightarrow 1+2C=0\Leftrightarrow C=-\frac{1}{2}$
   dvs
                        $y_p(x)=\frac{1}{5}e^x+\frac{1}{2}(x-1)=\frac{2e^x+5(x-1)}{10}$

Svar #12
22. december 2015 af cykelsmeden (Slettet)

meget pædagogisk forklaring! tak skal du have!

Skriv et svar til: Differentialligninger - calculus

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.