Matematik

Monotoniforhold

12. januar 2016 af Heptan - Niveau: Universitet/Videregående

Hvordan bestemmer man monotoniforhold for en funktion med to variable?

Brugbart svar (1)

Svar #1
12. januar 2016 af mathon

Max-min tests.

Ekstrema for f(x,y) kan kun forekomme i

1) grænsepunkter af funktionens domæne

2) indre punkter, hvor f_x=f_y=0 eller i punkter hvor f_x eller f_y ikke er defineret.
Punkterne kaldes de kritiske punkter.

Hvis  og dens første og anden afledede er kontinuerte i en åben skive indeholdende  og  og
f_x(a,b)=f_y(a,b)=0
gælder
   i)    $f_{xx}<0$ og $f_{xx}\cdot f_{xx}-{f_{xy}}^2>0$ i $(a,b)\Rightarrow$ lokalt maksimum.
    ii) $f_{xx}>0$ og $f_{xx}\cdot f_{xx}-{f_{xy}}^2>0$ i $(a,b)\Rightarrow$ lokalt minimum.
iii) $f_{xx}\cdot f_{xx}-{f_{xy}}^2<0$ i (a,b) $\Rightarrow$ saddelpunkt.
_IV) $f_{xx}\cdot f_{xx}-{f_{xy}}^2=0$    kan intet konkluderes.

Svar #2
12. januar 2016 af Heptan

Hvad gør man så når den giver 0 ligesom i IV)? Skal man beregne den for punkter i nærheden ligesom for 1 variabel?

Brugbart svar (0)

Svar #3
12. januar 2016 af mathon

Undersøger i overensstemmelse med
"punkterne"
1) og 2)

Svar #4
12. januar 2016 af Heptan

Er det når f_x = f_y = 0 at man har "kritiske punkter"?

Hvis jeg har et kritisk punkt (0,0), skal jeg så fx undersøge i)-IV) med hensyn til fire vilkårlige punkter (-1,0), (1,0), (0,-1) og (0,1)? (Såfremt punkterne ligger inden det næste kritiske punkt)

Brugbart svar (0)

Svar #5
12. januar 2016 af mathon

Hvert punkt skal såfremt f_x=f_y=0
undersøges
for fortegnskombinationen
af
$f_{xx}$ og $f_{xx}\cdot f_{yy}-{f_{xy}}^2$

De fire romertalspunkter afgør monotonien, såfremt $f_{xx}\cdot f_{yy}-{f_{xy}}^2\neq 0$

Svar #6
12. januar 2016 af Heptan

Når du siger hvert punkt, mener du så (-1,0), (1,0), (0,-1) og (0,1)? Der er $f_x \neq f_y \neq 0$

Brugbart svar (0)

Svar #7
12. januar 2016 af mathon

Umiddelbart Ja.

Men du har ikke oplyst f(x,y).

Svar #8
12. januar 2016 af Heptan

f(x,y)=6x^3-2xy^2+2y^2+40

f_x=18x^2 -2y^2

f_y=-4xy+4y

$f_{xx}=36x$

$f_{yy}=-4x+4$

$f_{xy}=-4y$

$f_{xx}\cdot f_{yy}-f_{xy}^2 =-16y^2-144x^2+144x$

Svar #9
12. januar 2016 af Heptan

Heraf, for det kritiske punkt (0,0), hvor f_x = f_y = 0,

$f_{xx}\cdot f_{yy}-f_{xy}^2 =0$

Andre kritiske punkter er (1,-3) og (1,3).

Brugbart svar (0)

Svar #10
12. januar 2016 af mathon

Når
$f_{xx}\cdot f_{yy}-{f_{xy}}^2=0$ kan intet konkluderes, hvilket er tilfældet for (0,0).

Brugbart svar (0)

Svar #11
12. januar 2016 af mathon

For (1,-3)

$f_{xx}\cdot f_{yy}-{f_{xy}}^2=-144\Rightarrow$ saddelpunkt

For (-1,3)
$f_{xx}\cdot f_{yy}-{f_{xy}}^2=-432\Rightarrow$ saddelpunkt

Svar #12
13. januar 2016 af Heptan

Der står saddelpunkt for (0,0) i facitlisten. Er det en fejl?

Svar #13
13. januar 2016 af Heptan

Jeg har lavet en 3D-tegning på http://www.wolframalpha.com/

Vedhæftet fil:Monotoniforhold.JPG

Brugbart svar (0)

Svar #14
13. januar 2016 af mathon

Ekstrema for f(x,y) kan forekomme i

1) grænsepunkter af funktionens domæne

Svar #15
13. januar 2016 af Heptan

Men funktionen er defineret på hele $\mathbb{R}$ ³?

Brugbart svar (0)

Svar #16
13. januar 2016 af mathon

Hvis og dens første og anden afledede er kontinuerte i en åben skive indeholdende og og
f_x(a,b)=f_y(a,b)=0
gælder
_IV) $f_{xx}\cdot f_{xx}-{f_{xy}}^2=0$ kan intet konkluderes (direkte). En nærmere analyse må udføres.

Skriv et svar til: Monotoniforhold

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.