Matematik

Differentialligning

12. januar 2016 af Daisyangel (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hejsa, er der en venlig sjæl som vil hjælpe mig med at løse den her differentialligning vha. separation af variabler. Jeg ved at jeg skal starte med at flytte y over på venstre side med y', men så kan jeg ikke komme videre. Opgaven er vedhæftet som et billede.

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2016-01-12 kl. 20.48.56.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
12. januar 2016 af PeterValberg

- - -

mvh.

Peter Valberg
(YouTube)

Brugbart svar (0)

Svar #2
12. januar 2016 af mathon

$(y-3)\textup{d}y=\frac{-1}{x^2}\textup{d}x$

$\int (y-3)\textup{d}y=\int \frac{-1}{x^2}\textup{d}x$

Brugbart svar (0)

Svar #3
12. januar 2016 af mathon

$\int (y-3)\textup{d}y=\int \frac{-1}{x^2}\textup{d}x$

$\frac{1}{2}y^2-3y=\frac{1}{x}+C$ gennem (1,1)
hvoraf
$\frac{1}{2}\cdot 1^2-3\cdot 1=\frac{1}{1}+C$

$\frac{1}{2}-3=1+C$

$\frac{1}{2}-4=C$

$C=\frac{1}{2}-\frac{8}{2}$

$C=-\frac{7}{2}$

$\frac{1}{2}y^2-3y=\frac{1}{x}-\frac{7}{2}$

$y^2-6y=\frac{2}{x}-7$

$y^2-6y+\left ( 7-\frac{2}{x} \right )=0$

$y=\frac{6\pm \sqrt{6^2-4\cdot 1\cdot \left ( 7-\frac{2}{x} \right )}}{2}$

$y=\frac{6\pm \sqrt{36-28+\frac{8}{x} }}{2}$

$y=\frac{6\pm \sqrt{8+\frac{8}{x} }}{2}$

$y=\frac{6\pm \sqrt{2^2\cdot \left(2+\frac{2}{x} \right)}}{2}$

$y=\frac{6\pm 2\sqrt{2+\frac{2}{x} }}{2}$

$y=3\pm \sqrt{2+\frac{2}{x} }$ hvor må forkastes , da f(1)=1
dvs
${\color{Red} f(x)=3-\sqrt{2+\frac{2}{x}}\; \; \; \; \; x\neq 0}$

Svar #4
13. januar 2016 af Daisyangel (Slettet)

Hvordan integreres (y-3)

Svar #5
13. januar 2016 af Daisyangel (Slettet)

Og mange tak for hjælpen :)

Brugbart svar (0)

Svar #6
13. januar 2016 af mathon

$\int_0 (y-3)\textup{d}y=\frac{1}{2}y^2-3y$ som vist i #3's 2. linje.

Brugbart svar (0)

Svar #7
13. januar 2016 af Soeffi

#0. I Geogebra:

Vedhæftet fil:Screen Shot 2016-01-13 at 2.05.30 PM.png

Svar #8
13. januar 2016 af Daisyangel (Slettet)

Men integreres det ikke ved integration ved substitution?

Brugbart svar (0)

Svar #9
13. januar 2016 af Soeffi

#8 ... Det kan gøres ved substitution:

$\\\int (y-3)\;dy=\int \frac{-1}{x^2}\;dx\Rightarrow \int u\;du=\int \frac{-1}{x^2}\;dx\\\;\\ hvor:u=y-3,\; \frac{du}{dx}=\frac{dy}{dx}\Rightarrow du=dy\;.\; Dette\;giver: \\\;\\ \frac{1}{2}u^{2}=\frac{1}{x}+C\Rightarrow u=\pm \sqrt{2 (\frac{1}{x}+C)}\Rightarrow y-3=\pm \sqrt{2 (\frac{1}{x}+C)}\Rightarrow\\\;\\ y=3\pm \sqrt{2 (\frac{1}{x}+C)}$

Brugbart svar (0)

Svar #10
13. januar 2016 af Soeffi

#9 Rettelse:
$\\...hvor:u=y-3\; og\; \frac{du}{dy}=\frac{d(y-3)}{dy}=1\Rightarrow du=dy\;.\; Dette\;giver: ...$

Skriv et svar til: Differentialligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.