Diferentialregning

#0 Du har godt nok være flittig med at stille spørgsmål, så vidt
     jeg kan tælle dem sammen, så er der cirka et helt afleveringssæt....

Til hver af dine spørgsmål (6 i alt?) så må du MEGET gerne skrive,
hvad du har forsøgt, hvad du har tænkt om opgavernes løsning,
hvad du eventuelt ikke forstår og gerne vil have hjælp til (lad være med at
skrive "det hele"... hvis du ikke har forsøgt nogen som helst selv, så kunne
man jo få den tanke, at du forsøger at komme nem om ved en aflevering.

a)

Funktionens nulpunkter er dens skæringer med x-aksen. Nulpunkterne kan findes ved f(x)=0

x³+6x²+9x=0 er en tredjegradsligning, ved at sætte x uden for en parentes får man en andengradsligning

x*(x²+6x+9)=0

x²+6x+9=0

x beregnes til -3

Funktionen skærer x-aksen i punktet (-3,0)

b)

Bestem monotoniforholdene!

Det gøres ved f'(x)=0

f'(x)=3*x^3-1+2*6*x^2-1+9

f'(x)=3x²+12x+9=0

Løser andengradsligningen til x=-1 og x=-3, så f'(-1)=0 og f'(-3)=0

x          -4       -3              -2             -1             0

f'(x)      +         0               -                0             +   

f'(x) vokser i ]-∞;-3]

f'(x) aftager i [-3;-1]

f'(x) vokser i [-1;0]

Lokalt maksimum i x=-3 og lokalt minimum i x=-1

c)

Vi finder ligningen for tangenten ud fra f(x)

x₀=1

f(x₀)=x³+6x²+9x

f(1)=1³+6*1²+9*1=1+6+9=16    går gennem (1,16)

f'(x₀)=3x²+12x+9

f'(1)=3*1²+12*1+9=3+12+9=24

y=f'(x₀)*(x-x₀)+f(x₀)

y=24*(x-1)+16

y=24x-24+16

y=24x-8

Vi ved, at f'(1)=24. Da f(x) og g(x) skærer hinanden i samme tangent, må g'(1)=24. Vi beregner b udfra g'(1)=24

g'(x)=-2x+b

g'(1)=-2*1+b=24

-2+b=24

-2+b+2=24+2

b=26

Vi ved, at grafen går gennem (1,16)

g(1)=-1²+26*1+c=16

g(1)=-1+26+c=16

c=9

g(x) og f(x) har fælles tangent i punktet (1,1). Forskriften for tangenten er y=24x-8. Og konstanterne b og c er bestemt til 26 og 9