Matematik

Vektorregning

25. januar 2016 af Malene121 (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej SP,

Har sværet ved denne opgave nogle der evt kunne hjælpe? :)

Vedhæftet fil: Vektorregning.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
26. januar 2016 af Eksperimentalfysikeren

Du kender koordinaterne til de fire punkter ABCD. Du kan så vælge tre pukter ud og finde vektorerne, de udspænder, f. eks. AB og AD. Du finder så krydsproduktet af dem. Derved har du en normalvektor, n, til α. En ligning for α er så n_xx + n_yy + n_zz = k, hvor du finder k ved at indsætte koordinaterne til ét af punkterne.

Ud fra ligningen for β finder du dennes normalvektor m. Til sidst finder du vinklen v mellem planerne ved

$cos(v) = \frac{\mathbf{n}\cdot \mathbf{m}}{\left | n \right |\left | m \right |}$

Svar #2
26. januar 2016 af Malene121 (Slettet)

Hvad med opgave b, hvordan finder jeg normalvektoren, da jeg ikke kender alle koordinaterne i BCGH?

Brugbart svar (0)

Svar #3
26. januar 2016 af mathon

Brugbart svar (0)

Svar #4
26. januar 2016 af mathon

En normalvektor for planen $\beta$
er:
$\overrightarrow{n}_\beta =\begin{pmatrix} 1800\\51520 \\ -8993 \end{pmatrix}$

Brugbart svar (0)

Svar #5
26. januar 2016 af mathon

Detaljer:

En plan med normalvektor $\overrightarrow{n}=\begin{pmatrix}\mathbf{\color{Red} a}\\\mathbf {\color{Blue} b} \\ \mathbf{\color{Magenta} c} \end{pmatrix}$ gennem P_o(x_o,y_o,z_o)
har ligningen:

$\begin{pmatrix} a\\b \\ c \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x-x_o\\y-y_o \\ z-z_o \end{pmatrix}=0$

ax+by+cz+(-(ax_o+by_o+cz_o))=0

$\mathbf{\color{Red} a}x+\mathbf{\color{Blue} b}y+\mathbf{\color{Magenta} c}z+d=0$

Omvendt haves:
         Har en plan ligningen: $\mathbf{\color{Red} a}x+\mathbf{\color{Blue} b}y+\mathbf{\color{Magenta} c}z+d=0$
         er en af dens
         normalvektorer
                                              $\overrightarrow{n}=\begin{pmatrix}\mathbf{\color{Red} a}\\\mathbf {\color{Blue} b} \\ \mathbf{\color{Magenta} c} \end{pmatrix}$

Brugbart svar (0)

Svar #6
26. januar 2016 af Soeffi

#0. Geogebra.

Vedhæftet fil:Screen Shot 2016-01-26 at 11.53.16 AM.png

Svar #7
26. januar 2016 af Malene121 (Slettet)

i opgave a) har jeg fået min normalvektor til at være(−430400,0,148488) og linjensligning til at være −430400x+148488z+83820400=0

Men når jeg skal bruge den normalvektor fra opgave a) i opgave b) til at finde vinklen vil den ikke?

Brugbart svar (0)

Svar #8
26. januar 2016 af Soeffi

#7 ... −430400x+148488z+83820400=0

Det er det samme som α i #6. Hvilke normalvektorer har du i b)?

Svar #9
26. januar 2016 af Malene121 (Slettet)

Hvad mener du med at det er det samme?

Skal jeg ikke bruge normalvektoren i a til at finde vinklen i b, men den vil ikke?

Brugbart svar (0)

Svar #10
26. januar 2016 af mathon

En normalvektor for $\alpha$ er $k\cdot \begin{pmatrix} 430400\\0 \\ -148488 \end{pmatrix}$ som med
$k=\frac{1}{2152}$ giver

$\overrightarrow{n}_\alpha =\begin{pmatrix} 200\\0 \\ -69 \end{pmatrix}$ $\left |\overrightarrow{n}_\alpha \right | =\sqrt{200^2+69^2}=2{,}116\cdot 10^2$

$\overrightarrow{n}_\beta =\begin{pmatrix} 1800\\51520 \\ -8993 \end{pmatrix}$ $\left |\overrightarrow{n}_\beta \right | =\sqrt{1800^2+51520^2+8993^2}=5{,}233\cdot 10^4$

$\! \! \! \! \! \! \! \! \cos(v_{spids})=\frac{\overrightarrow{n}_{\alpha}\cdot\overrightarrow{n}_{\beta} }{\left | \overrightarrow{n}_{\alpha} \right |\cdot\left | \overrightarrow{n}_{\beta} \right | }=\frac{\begin{pmatrix} 200\\0 \\ -69 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1800\\51520 \\ -8993 \end{pmatrix}}{2{,}116\cdot 10^2\cdot 5{,233\cdot 10^{4}}}=\frac{980517}{1{,}10416\cdot 10^7}=0{,}0888$

$v_{spids}=\cos^{-1}(0{,}0888)=84{,}91^{\circ}$

$v_{stump}=180^{\circ}-84{,}91^{\circ}=95{,}09^{\circ}$

Svar #11
26. januar 2016 af Malene121 (Slettet)

hvor har du k fra?

Brugbart svar (0)

Svar #12
26. januar 2016 af mathon

k er største fælles divisor for 430400 og -148488.

Svar #13
26. januar 2016 af Malene121 (Slettet)

Kan den ikke løses uden k har nemlig ikke lært om den endnu

Brugbart svar (0)

Svar #14
26. januar 2016 af mathon

Jo selvfølgelig:

$\overrightarrow{n}_\alpha =\begin{pmatrix} -430400\\0 \\ 148488 \end{pmatrix}$ $\left |\overrightarrow{n}_\alpha \right | =\sqrt{430400^2+148488^2}=4{,}553\cdot 10^5$

$\overrightarrow{n}_\beta =\begin{pmatrix} 1800\\51520 \\ -8993 \end{pmatrix}$ $\left |\overrightarrow{n}_\beta \right | =\sqrt{1800^2+51520^2+8993^2}=5{,}233\cdot 10^4$

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \cos(v_{spids})=\frac{\overrightarrow{n}_{\alpha}\cdot\overrightarrow{n}_{\beta} }{\left | \overrightarrow{n}_{\alpha} \right |\cdot\left | \overrightarrow{n}_{\beta} \right | }=\frac{\begin{pmatrix} -430400\\0 \\ 148488 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1800\\51520 \\ -8993 \end{pmatrix}}{4{,}553\cdot 10^5\cdot 5{,233\cdot 10^{4}}}=\frac{2{,}1101\cdot 10^9}{2{,}3826\cdot 10^{10}}=0{,}08856$

$v_{spids}=\cos^{-1}(0{,}08856)=84{,}92^{\circ}$

$v_{stump}=180^{\circ}-84{,}92^{\circ}=95{,}08^{\circ}$

Skriv et svar til: Vektorregning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.