Bevis for differensreglen og arealfunktionen

Differensreglen

∫^b_af(x)-g(x)dx=^b_a∫f(x)dx-^b_a∫g(x)dx

Venstre side

[F(x)-G(x)]^b_a=F(b)-G(b)-(F(a)-G(a))=F(b)-G(b)-F(a)+G(a)=F(b)-F(a)-G(b)+G(a)

Højre side

^b_a∫f(x)dx-^b_a∫g(x)dx=[F(x)]^b_a-[G(x)]^b_a=F(b)-F(a)-(G(b)-G(a))=F(b)-F(a)-G(b)+G(a)

Det bestemte integrale af en konstant ganget en funktion

^b_a∫(k*f(x))dx=k*∫^b_af(x)dx

Højre side

^b_a∫(k*f(x)dx=[k*F(x)]^b_a=k*F(b)-k*F(a)

Venstre side

k*∫^b_af(x)dx=k*∫^b_af(x)dx=k*[F(x)]^b_a=k*(F(b)-F(a)=k*F(b)-k*F(a)

Bevis for arealfunktionen

Arealfunktionen viser, at stamfunktionen til f er arealet under grafen. A'(x)=f(x). En stamfunktion er altså arealet under grafen

Funktionen f er kontinuert i intervallet [a;b]. I intervallet [a;b] er der et x, og arealet er afhængig af x, så derfor defineres arealet som A(x)

A(x) er en stamfunktionen til f, så det gælder fra defintionen af en stamfunktion af F'(x)=f(x), så det må gælde, at A'(x)=f(x)

Arealfunktionen er en stamfunktion til f

Finder det minimale og maksimale areal af ΔA

Det maksimale areal af ΔA er f(x+h)*h

Det minimale areal af ΔA er f(x)*h

Trin 1

Find delta ΔA

ΔA=A(x+h)-A(x)

Trin 2

ΔA/h

Det mindste areal af ΔA er f(x)*h og det maksimale areal af ΔA er f(x+h)*h. arealet ΔA må altså ligge mellem f(x)*h og f(x+h)*h

h*f(x)<ΔA<f(x+h)*h

Vi dividerer med h på begge sider af lighedstegnet for at få det til at ligne ΔA/h

h*f(x) < ΔA  <  f(x+h)*h

 h          h            h

f(x)<ΔA/h<f(x+h)

Trin 3 

Lader h gå i mod 0

Differentialkvotienten, som er A'(x) findes ved at finde grænseværdien af sekantens hældning, når h går i mod 0

A'(x)=lim(ΔA/h)

Når f(x+h) går i mod 0, så bliver det f(x)

Vi ved dermed, at f(x)<ΔA/h<f(x), så lim(ΔA/h)=f(x)

                                                            h→0

Dermed bevist, at A'(x)=f(x)

Det ville være en stor hjælp, hvis der lige var en der kunne kigge mine beviser igennem for fejl, særligt de to første har jeg kludret lidt rundt i.

Tusind tak på forhånd