Matematik

mat

10. maj 2016 af nat27 (Slettet) - Niveau: 9. klasse

hej allesammen jeg har brug for lidt hjælp, jeg sidder og kan slet ikke forstå den her opgave, jeg håber i kan hjælpe mig.... jeg har fået af vide rumfang og det krumme overfladareal ...

problemstillingen lyder sådan:

kom med bud på mål af radius og højde på keglen, så den kan inholde 0,4 L

overvej mål på keglen, så der bruges så lidt pap som muligt til den.

Brugbart svar (0)

Svar #1
10. maj 2016 af mathon

Opstil et udtryk for både
volumen og overfladeareal.

Brugbart svar (0)

Svar #2
10. maj 2016 af mathon

volumen:

$V=\frac{1}{3}\cdot h\cdot G=\frac{1}{3}\cdot h\cdot \pi \cdot r^2$

$h=\frac{3V}{\pi r^2}$

areal:
$A=\pi \cdot r\cdot s=\pi \cdot r\cdot \sqrt{h^2+r^2}$

$A(r)=\pi \cdot r\cdot s=\pi \cdot r\cdot \sqrt{\left ( \frac{3V}{\pi r^2} \right )^2+r^2}$

$A(r)=\pi \cdot r\cdot \sqrt{ \frac{9V^2}{\pi^2 r^4} +r^2}$

$A(r)= \sqrt{\left ( 9V^2 \right )r^{-2} +\pi ^2r^4}$

$A{\, }'(r)= \frac{1}{2\sqrt{\left ( 9V^2 \right )r^{-2} +\pi ^2r^4}}\cdot \left ( -2\cdot 9V^2r^{-3}+4\pi ^2r^3 \right )$

$A{\, }'(r)= \frac{ - 9V^2r^{-3}+2\pi ^2r^3}{\sqrt{\left ( 9V^2 \right )r^{-2} +\pi ^2r^4}}$

minimumsareal bestemmes
af:
$A{\, }'(r)= \frac{ - 9V^2r^{-3}+2\pi ^2r^3}{\sqrt{\left ( 9V^2 \right )r^{-2} +\pi ^2r^4}}=0$

Brugbart svar (0)

Svar #3
10. maj 2016 af mathon

…da nævneren er positiv, betyder det;
at tælleren skal være lig med 0
hvoraf:
$2\pi ^2r^3=(9V^2)r^{-3}$

$2\pi ^2r^6=9V^2$

$r=\left (\frac{9V^2}{2\pi ^2} \right )^{\frac{1}{6}}$

$r=\left (\frac{9\cdot \left (0{,}4\; dm^3 \right )^2}{2\pi ^2} \right )^{\frac{1}{6}}$

$r=\left (\frac{0{,}72\; dm^6 }{\pi ^2} \right )^{\frac{1}{6}}=0{,}6464\; dm$

$r=6{,}464\; cm$

Brugbart svar (1)

Svar #4
10. maj 2016 af Eksperimentalfysikeren

#2 Hvornår har man indført differentialregning i 9. klasse?

Opgaven kan løses uden differentialregning.

$V = \frac{1}{3}h\pi r^{2}$

$r^{2} = \frac{3V}{\pi h}$

Afstanden, s, mellem toppunkt og cirkelperiferi findes af s² = r² + h² (Pythagoras).

Arealet A = π * r * s

Hvis vi skal kende A, skal vi bruge s, hvilket indeværer, at vi skal uddrage kvadratroden. Imidlertid skal vi ikke kende A, bare minimere den. Det kan vi lige så godt gøre med A² = π² * r² * s²

Ved at indsætte udtrykkene for s² og r² fås et udtryk, der kun indeholder V og h.

Udtrykket for A² indeholder så 2 led, hvoraf det ene er voksende og det andet aftagende for h voksende.Hvis du tegner graferne for disse udtryk og for A² kan du få en god idé om, hvor den optimale værdi af h ligger.

Brugbart svar (0)

Svar #5
10. maj 2016 af mathon

…i den udstækning man overhovedet kan regne med personoplysningerne:

Hvornår, er det indført, at man først begynder i skole som 8-årig?

Brugbart svar (0)

Svar #6
10. maj 2016 af Soeffi

#0 Bliver man evt. bedt om at bruge regneark?

Brugbart svar (0)

Svar #7
10. maj 2016 af Eksperimentalfysikeren

problemstillingen lyder sådan:

kom med bud på mål af radius og højde på keglen, så den kan inholde 0,4 L

overvej mål på keglen, så der bruges så lidt pap som muligt til den.

Denne formulering tyder stærkt på en 9.klassesopgave. Der er hverken lagt op til differentialregning eller brug af regneark.

Brugbart svar (0)

Svar #8
10. maj 2016 af Soeffi

#0. Svar med regneark. Man laver en søjle med radius, hvor enheden er decimeter. Derefter laver man en søjle med højde, hvor højden er regnet ud med 2. formel i #2. Dernæst en søjle med rumfang efter 1. formel i #2 (bare som kontrol, for at se om den giver 0,4 hele vejen). Til sidst laver man en søjle med overflade-arealet med 3. formel fra #2.

I søjlen med radius vælger man først radius = 1 (10 cm) og ser hvad overflade-arealet giver. Dernæst prøver man radius = 2 (20 cm) og får et større overflade-areal end det, man fik for radius = 1. Man prøver derefter, at gå den modsatte vej og vælger radius = 0,5 (5 cm). Her får man et mindre overfladeareal end for radius = 1 og er derfor nød til at gå længere ned endnu for at få en større værdi. Man er interesseret i at få en følge af stigende radier, hvor overfladearealet først falder og derefter stiger omkring den radius, der giver det mindste overfladeareal.

Man får at radius = 0,25 (2,5 cm) giver et større overfladeareal end radius = 1 og ved nu at den rigtige radius ligger mellem 0,25 og 1. Man forsøger at vælge radius = 0,75 og får, at overfladearealet er mindre end for radius = 0,5. Radius skal derfor ligge mellem 0,5 og 1.

Man forsøger nu med radius = 0,67, der ligger mellem radius = 0,5 og radius = 0,75. Denne værdi justerer man på, indtil man når til radius = 0,646 og radius = 0,647. Disse værdier giver samme værdi af overfladearealet med 4 decimaler og man har fundet den værdi af radius, der giver det mindste overfladeareal, når rumfanget holdes fast på 0,4 L.

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2016-05-10 kl. 12.56.41.png

Brugbart svar (0)

Svar #9
10. maj 2016 af Eksperimentalfysikeren

Jeg håber, at trådstarterikke er hægtet helt af!

Brugbart svar (0)

Svar #10
11. maj 2016 af mette48 (Slettet)

jeg har fået af vide rumfang og det krumme overfladareal ...

er det formler til beregning af rumfang og overflade du har fået oplyst

eller er det nogle talværdier du har fået?

Skriv et svar til: mat

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.