Matematik

Underrum

15. august 2016 af Shaolina (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg har brug for hjælp til følgende opgave:

$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0\\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

$b = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}$

$Ab = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 & | 1\\ 0 & 1 & 2 & 0 & | 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 & | 3 \end{bmatrix}$

Det oplyses, at Ab matricen har følgende reducerede række echlon form:

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 & | 0\\ 0 & 1 & 2 & 0 & | 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & | 2 \end{bmatrix}$

A) Hvilke af følgende svar er korrekt:

Lad x være en løsning til Ax = b. Er løsningsmængden til Ax = b et underrum af R⁴? Sand/Falsk?

Giv gerne en forklaring på, hvorfor svaret er enten sandt eller falskt.

På forhånd tak!

Brugbart svar (0)

Svar #1
15. august 2016 af Therk

Er det ikke dig, der skal løse den opgave?

Brugbart svar (0)

Svar #2
15. august 2016 af peter lind

Læg mærke til at for en evt. løsning må der gælde at x₄=2 Endvider er (0, 1, 0, 2) en løsning

Svar #3
15. august 2016 af Shaolina (Slettet)

#1
Er det ikke dig, der skal løse den opgave?

Det er jo netop derfor, at jeg spørger om hjælp. Jeg ved ikke, hvordan jeg skal gribe den an.
Og hvis du ikke vil hjælpe, synes jeg da i stedet at du skal spare kommentarfeltet til andre, som gerne vil.

Brugbart svar (0)

Svar #4
16. august 2016 af VandalS

Ud fra din reducerede form kan du aflæse, at løsningerne til problemet $A \cdot x = b$ har formen

$x = \begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} + s\cdot \begin{bmatrix}1 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, s \in \mathbb{C}$

forudsat at I tillader komplekse koefficienter. Så kan du selv overveje, om det er et underrum i $\mathbb{R}^4$ =)

Svar #5
16. august 2016 af Shaolina (Slettet)

#4
#0

Ud fra din reducerede form kan du aflæse, at løsningerne til problemet $A \cdot x = b$ har formen

$x = \begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} + s\cdot \begin{bmatrix}1 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, s \in \mathbb{C}$

forudsat at I tillader komplekse koefficienter. Så kan du selv overveje, om det er et underrum i $\mathbb{R}^4$ =)

Burde det ikke være sådan her:

$x = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} + s \cdot \begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}$

Ligningerne ser jo således ud:

x₁ = x₃

x₂ = -2x₃ + 1

x₃ = Fri

x₄ = 2

Og hvis man sætter x₃ = 0, ser det således ud:

x₁ = 0

x₂ = -2*0 + 1 = 1

x₃ = 0

x₄ = 2

Eller har jeg misforstået, hvilke tal, der dækker over hvilke?

Brugbart svar (0)

Svar #6
16. august 2016 af peter lind

Ingen af løsningerne i #4 og #5 er korrekte, hvilket nemt kan ses ved at sætte ind i den oprindeligede ligning. #5 Du kan da ikke bare forudsætte at x₃ = 0

Den eksakte løsning behøver man ikke for at svare på opgaven. Hvis enhver løsningsvektor altid har sidste koordinaten 2 kan løsningsrummet ikke være et underrum. For eks. skal summen af to vektorer i et underrum igen være en vektor i underrummet.

Brugbart svar (0)

Svar #7
16. august 2016 af VandalS

$\begin{bmatrix} 2 \ 1 \ 0 \ 0 \\ 0 \ 1 \ 2 \ 0 \\ 1 \ 1 \ 1 \ 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} s \\ 1-2s \\ s\\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2s +1 -2s \\ 1-2s +2s \\ s+1-2s+s+2\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}$

Uddyb venligst din kommentar om at #4 ikke er rigtig. Vi kan godt blive enige om at den fuldstændige løsning ikke behøves for at svare på opgaven, men jeg forsøger blot at give #0 et hint om hvordan løsningen ser ud.

Brugbart svar (0)

Svar #8
16. august 2016 af VandalS

Konstantvektoren er god nok, og da x_3 er fri kalder jeg den for . Du aflæser blot forkert i din ligning x_2=-2x_3+1=-2s+1 , så koefficienten til andenkoordinaten burde være -2, og så har vi det samme resultat.

Brugbart svar (0)

Svar #9
17. august 2016 af peter lind

#7 Du har ret. Jeg har klokket i det

Her er en nemmere metode.

Et ligningssystem med 3 ligninger og 4 ubekendte, hvor højre side ikke er 0 kan ikke have løsningen (0, 0, 0, 0) . For ethvert underrum ligger 0-vektoren i underrummet, så løsningsrummet kan ikke være et underrum. Det kan let udvides til andre antal ligninger og ubekendte

Skriv et svar til: Underrum

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.