Matematik

Differentialligning

17. august 2016 af Sfeldt (Slettet) - Niveau: A-niveau

For en fluepopulation gælder følgende diff.ligning:

\frac{dN}{dt}=0,01\cdot N(t)

Den kan løses og der fås en voksende eksponentialfunktion, lad os kalde den N(t), t er i dage. 

Hvis der nu døer 3 fluer hver dag kan diff.ligning ændres til (ikke?):

\frac{dN}{dt}=0,01\cdot N(t)-3

Når den løses fås en funktion vi kan kalde N1(t). 

Mit spørgsmål er nu, hvorfor er N1(t) ikke lige med 

N(t)-3\cdot t

altså antal fluer uden, at der er nogen der døer, minus det antal der døer? 

Det giver nemlig noget helt andet når diff.ligningen løses. 


Brugbart svar (0)

Svar #1
17. august 2016 af mathon

                  N(t)=N_0\cdot e^{0{,}01\cdot t}

                  \frac{\mathrm{d} N}{\mathrm{d} t}=3=0{,}01\cdot N(1)

                                 300=N_0\cdot e^{0{,}01\cdot 1}

                                 N_0=\frac{300}{e^{0{,}01}}=297
hvoraf
                  N(t)=297\cdot e^{0{,}01\cdot t}


Svar #2
17. august 2016 af Sfeldt (Slettet)

Det giver ikke mening for mig. Du kan da ikke regne ud, hvor mange fluer der er i starten ved at indsætte, hvor mange fluer der døer? 

Den første diff.ligning angiver, hvor mange fluer der kommer til populationen (væksthastighed proportional med populationen). 

Så fås en ny oplysning, nemlig at der døer 3 om dagen. Så fås da den anden diff.ligning, den med -3, som er af typen y'=b-ay?

Jeg er ikke med på din løsning? 


Brugbart svar (0)

Svar #3
17. august 2016 af mathon

Det har du ret  i.

                             N{\, }'=0{,}01\cdot N-3

                             N{\, }'-0{,}01\cdot N=-3

                             N(t)=e^{0{,}01\cdot t}\cdot \int -3\cdot e^{-0{,}01\cdot t}\mathrm{d}t

                             N(t)=e^{0{,}01\cdot t}\cdot \left ( \frac{-3}{-0{,}01}\cdot e^{-0{,}01\cdot t}+C \right )

                             N(t)=Ce^{0{,}01\cdot t}+300

                            

                            


Svar #4
17. august 2016 af Sfeldt (Slettet)

Spørgsmålet var jo, hvorfor det ikke er lige med N (t)-3t?

Skriv et svar til: Differentialligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.