Parameterfremstilling

Begynd i det punkt dine to vektorer har tilfælles. Du kan da gå langs den ene vektor for at komme "op" i parallelogrammet og langs den anden for at komme "hen" i parallelogrammet. Benyt det til at lave en parameterfremstilling.

Altså, det punkt de har til fælles er vel (0,0,1).. Jeg forstår ikke helt hvad du mener med at gå op og hen :/ 

Jeg har forgæves prøvet at finde et eksempel på nettet, så jeg kunne forstå metoden lidt, er det noget du sidder inde med?

Jeg har ikke noget materiale lige ved hånden, men her er en kort indførelse i emnet.

Med en parameterfremstilling for en mængde  forstås generelt en vektorfunktion defineret på en mængde sådan at afbildes over i under . Dette er praktisk fordi en muligvis kompliceret ofte kan beskrives nemmere ved afbildningen.

I din opgave skal vi finde en parameterfremstilling til et parallelogram. Da det er en to-dimensionel figur i skal vi så finde en mængde samt en afbildning der ved hjælp af et sæt parametre beskriver parallelogrammets koordinater, altså med løs notation at . Generelt kan en parameterisering fortages på uendeligt mange forskellige måder, men det er hensigtsmæssigt at lede efter individuelle koordinatafbildninger, der tilsammen udgør hele afbildningen. I det her tilfælde betyder det at

,

hvor afbilder over i den tilsvarende x-koordinat i (forstået i forhold til et almindeligt retvinkelt koordinatsystem), og tilsvarende med og . Nu vil jeg ikke direkte løse din opgave for dig, men som et anvendt eksempel så se på mængden , . Dette er en cirkel i xy-planen med centrum i og radius . Da begrænsningen er besværlig at arbejde med ønsker vi at finde en simplere parameterfremstilling.

Først observerer vi, at cirklen er indeholdt i xy-planen. Derfor er . Vi ved desuden, at sinus og cosinus funktionerne afbilder en vinkel på enhedscirklen over i den tilhørende - og -koordinat, så det er oplagt at lade  angive vinklen med x-aksen og gøre brug af de to funktioner i og . Vi skal dog skalere funktionerne med en passende faktor sådan at vi faktisk rammer kanten af vores cirkel, hvilket vi kan gøre ved at gange på. Cirklens kant er altså beskrevet ved parameterfremstillingen

, hvor sådan at vi når hele vejen rundt.

Dette beskriver mængden , men vi mangler alle de indre punkter i vores originale mængde. Disse er dog nemme at fange idet vi bare kan gange på parameterfremstillingen for cirklens rand og lade . På denne måde fanger vi nemlig alle de punkter, der ligger på den rette linje mellem og . En mulig parameterfremstilling for cirklen er altså

, .

Det er meget muligt, at mit svar i #3 er mere forvirrende end opklarende. Hvis det er tilfældet så sig til, så kan jeg komme tilbage i morgen med simplere eksempler eller en kilde til en introduktion i emnet.

Parallelogrammet er beliggende i planen gennem p₁ , p₂ , p₃ , p₄ .
    og har længden √6
    og har længden √14
Et vilkårligt punkt  P_s,t beliggende i parallelogrammet kan da beskrives ved

        for     0 ≤ s ≤ √6    ∧    0 ≤ t ≤ √14