Integral

Stamfunktionen til f(x):

Da y=-x-1 er en tangent til f(x), skærer den kun f(x) i ét punkt - og dette punkts x- og y-værdi skal vi bruge for at kunne finde ud af, hvad konstanten k er. Så start ud med at finde skæringspunktet mellem f(x) og tangenten, og herefter kan du indsætte din x- og y-værdi i dette punkt i stamfunktionen og finde værdien af k.

Ved du hvad - jeg tror desværre, jeg vrøvler. Vent på, der kommer andre og svarer, for mit er sandsynligvis forkert.

Som jeg opfatter det, er det den stamfunktion, der har y = -x - 1 som tangent, dvs. F'(x0) = -1 ⇔ f(x0) = -1, hvor (x0,F(x0) = (x0,y0) er røringspunktet.
Løs denne ligning mht. x0.
Indsæt så denne værdi i tangentens ligning, så har du et punkt på F-grafen og kan bestemme k derudfra.

Man har F(x) = x²/2 + x + k og -f(x) = f(a)(x - a) + F(a)   (hvorfor?).

Vælg et eller andet (reelt tal) a, så løser du den ligning mht. k.

Ahh! #4 - Det approksimerende førstegradspolynomium? Hvordan kan jeg løse den, når jeg har to ubekendte - x og k?

#3 - Hvorfor differentieres tangenten?

#5     Eller tangentens ligning. Det er ligegyldig, selvom k består af x (og a). PS: I dette tilfælde ved jeg ikke helt hvordan det hænger sammen, når k er en konstant, som ikke varierer. Det er en interessant opgave her.

#5 tangenten differentieres ikke. Tangenthældningen er differentialkvotienten og da tangenthældningen er -1, gælder, at F'(x0) = -1 og da F er stamfunktion til f, er F'(x0) = f(x0), så f(x0) = -1. x0 er ubekendt, men kan bestemmes ud fra ligningen f(x0) = -1.

Når x0 første er fundet, kan F(x0) bestemmes via tangentligningen, da (x0,F(x0)) er røringspunktet.

#5     Jeg synes AMelev har givet et bedre forslag, (hvor k ikke variere sig). Hvis y(x) = -x -1 er tangenten, finder man x-koordinaten til røringspunktet, nemlig ved F '(x₀) = y'(x₀). Dernæst siger betingelsen, at y(x) = F '(x₀)(x - x0) + F(x₀). Now, do the magic.