Matematik

Konvergent eller divergent

01. december 2016 af 9003n - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg har brug for lidt hjælp til at argumentere for følgende opgave:

Lad d_n = sin(n)n^-^1/2 og e_n = sin(nπ /2 + π /3)n^1/2 for n = 1,2,3,... Afgør om talfølgerne {d_n}_n=1^∞ og {e_n}_n=1^∞er konvergente eller divergente.

Det kunne være rigtig dejligt, hvis der er nogle som kan hjælpe mig med at argumentere for om de er divergente eller konvergente, beedst muligt...

Brugbart svar (0)

Svar #1
01. december 2016 af Therk

Hint: Din følge konvergerer, hvis den numeriske værdi af følgen konvergerer.

$\lvert d_n \rvert =\left \lvert \frac{\sin(n)}{\sqrt n}\right\rvert \leq \left\lvert \frac 1{\sqrt n}\right\rvert$

Lad nu n gå mod uendelig.

For e_n se at lim sup og lim inf er forskellige med et lignende argument. Da eksisterer grænseværdien ikke.

Brugbart svar (0)

Svar #2
01. december 2016 af Eksperimentalfysikeren

Så vidt jeg kan se er e_n også konvergent:

$\left | e_{n} \right | = \left | \frac{sin(n \pi /2 + \pi /3)}{\sqrt{n}} \right | \leq \left | \frac{1}{\sqrt{n}} \right |$

Svar #3
01. december 2016 af 9003n

Jeg har fået af vide, at e_n er divergent, men jeg ved ikke hvordan jeg skal argumentere for det.

Svar #4
01. december 2016 af 9003n

Aha, jeg har fundet ud af e_n..

Men jeg kunne godt bruge lidt mere hjælp til d_n, kan ikke helt få det til at gå op.

Brugbart svar (0)

Svar #5
01. december 2016 af Therk

#2, e_n står som

$e_n = \sin(n\pi/2 + \pi/3)\sqrt n$

skulle det have været n^-1/2, så var jeg enig. :)

Til d_n: Observer at

$\sin(n) \in [-1,1]$ ,

dvs. den største værdi den kan tage er 1. Så

$\left \lvert \frac{\color{red}\sin(n)}{\sqrt n}\right \rvert \leq \left \lvert \frac{\color{red}1}{\sqrt n}\right \rvert$

fordi .

Hvad har du gjort i for at løse e_n? Jeg kan ikke forstå at du kan lave den uden at kunne finde resultatet for d_n.

Skriv et svar til: Konvergent eller divergent

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.