Matematik

Andenordens differentialligninger.

08. december 2016 af Anonyminized (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej.

Jeg har fået til opgave stillet denne opgave:

Gør rede for teorien bag løsning af andenordens differentialligninger af typen y′′ = a ·y + b · y′

og bestem den fuldstændige løsning til differentialligningen 3y′′ = 2y.

Nogle der kan hjælpe mig igang med det?

Brugbart svar (1)

Svar #1
08. december 2016 af mathon

$3y{\, }''-2y=0$
med den karakteristiske
ligning:
3r^2-2=0

$r=\left\{\begin{matrix} -\sqrt{\frac{2}{3}}\\ \sqrt{\frac{2}{3}} \end{matrix}\right.$

har den fuldstændige
løsning:
$y=C_1e^{-\sqrt{\frac{2}{3}}\cdot x}+C_2e^{\sqrt{\frac{2}{3}}\cdot x}$

Svar #2
08. december 2016 af Anonyminized (Slettet)

Men hvordan skal jeg så redegøre for typen y′′ = a ·y + b · y′ ?

Kan man sige at den er samme type som følgende: y´´+py'+qy=0?

Svar #3
08. december 2016 af Anonyminized (Slettet)

#1
           $3y{\, }''-2y=0$
med den karakteristiske
ligning:


                                             $r=\left\{\begin{matrix} -\sqrt{\frac{2}{3}}\\ \sqrt{\frac{2}{3}} \end{matrix}\right.$

har den fuldstændige
løsning:
                                            $y=C_1e^{-\sqrt{\frac{2}{3}}\cdot x}+C_2e^{\sqrt{\frac{2}{3}}\cdot x}$

Hvordan helt præcis har du fundet r?

Brugbart svar (0)

Svar #4
08. december 2016 af mathon

$a\cdot y{\, }''+b\cdot y{\, }'+c\cdot y=0$

der gættes på en løsning
                                             $y=e^{rx}$
                  hvoraf
                                             $y{\, }'=re^{rx}$

$y{\, }''=r^2e^{rx}$ som ved indsættelse
giver:

$a\cdot r^2e^{rx}+b\cdot re^{rx}+c\cdot e^{rx}=0$

$a\cdot r^2+b\cdot r+c=0$ som kaldes den karakteristiske ligning.

Som for
b^2-4ac>0 har de reelle løsninger r_1 og r_2

b^2-4ac=0 har den reelle løsning

b^2-4ac<0 har to komplekse løsninger $r=\alpha \mp \beta i \; \; \; \; \; \; \; \; \; \beta \neq0$

Det kan vises
at:
for
b^2-4ac>0 er den fuldstændige løsning $y(x)=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$

for
b^2-4ac=0 er den fuldstændige løsning $y(x)=\left (C_1+C_2x \right )e^{rx}$

    for
               b^2-4ac<0 er den fuldstændige løsning    $y(x)=e^{\alpha x}\left ( C_1\cos\left ( \beta x \right )+C_2\sin\left ( \beta x \right ) \right )$

Svar #5
08. december 2016 af Anonyminized (Slettet)

#4
                 $a\cdot y{\, }''+b\cdot y{\, }'+c\cdot y=0$

der gættes på en løsning
                                             $y=e^{rx}$
                  hvoraf
                                             $y{\, }'=re^{rx}$

                                             $y{\, }''=r^2e^{rx}$                    som ved indsættelse
giver:

                 $a\cdot r^2e^{rx}+b\cdot re^{rx}+c\cdot e^{rx}=0$

                 $a\cdot r^2+b\cdot r+c=0$               som kaldes den karakteristiske ligning.

Som for
               har de reelle løsninger og

               har den reelle løsning

               har to komplekse løsninger $r=\alpha \mp \beta i \; \; \; \; \; \; \; \; \; \beta \neq0$

Det kan vises
at:
    for
               er den fuldstændige løsning    $y(x)=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$

    for
               er den fuldstændige løsning    $y(x)=\left (C_1+C_2x \right )e^{rx}$

    for
               er den fuldstændige løsning    $y(x)=e^{\alpha x}\left ( C_1\cos\left ( \beta x \right )+C_2\sin\left ( \beta x \right ) \right )$

Men er dette så også redegørelsen for ligningstypen?

Brugbart svar (0)

Svar #6
08. december 2016 af mathon

Detaljerne i efter "det kan vises" hører med.

Skriv et svar til: Andenordens differentialligninger.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.