Inverse tangent

27. december 2016 af Whisky1234 (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Har dette intergrale, hvordan skal jeg lige finde frem til at det har noget med den inverse tangent, hvis man beregner det ubestemte intergrale?

Vedhæftet fil: Udklip.PNG

Brugbart svar (0)

Svar #1
27. december 2016 af Lubas (Slettet)

(substitution)

u = 3x

du/dx = 3 <=> dx = du/3

Nye integrale bliver 1/(u^2 + 1), stamfunktionen til dette er arctan(u) og så substituerer du 3x tilbage og evaluerer integralet fra x = 0..1/3

Brugbart svar (0)

Svar #2
27. december 2016 af Soeffi

#0.

Brugbart svar (0)

Svar #3
27. december 2016 af Number42 (Slettet)

Invers Tangens, antager jeg?

Ikke invers Tangent

Brugbart svar (0)

Svar #4
28. december 2016 af mathon

#1 - uden tilbagesubstitution - i detaljer

$\int_{0}^{\frac{1}{3}}\frac{3}{1+9t^2}\, \mathrm{d}t=\int_{0}^{\frac{1}{3}}\frac{1}{1+(3t)^2}\, 3\mathrm{d}t$

som med
u=3t og dermed $\mathrm{d}u=3\mathrm{d}t$ $\begin{matrix} \frac{1}{3}\rightarrow 1\\ 0\rightarrow 0 \end{matrix}$

giver
$\int_{0}^{\frac{1}{3}}\frac{1}{1+(3t)^2}\, 3\mathrm{d}t=\int_{0}^{1}\frac{1}{1+u^2}\, \mathrm{d}u=\tan^{-1}(1)-\tan^{-1}(0)=\frac{\pi }{4}$

Brugbart svar (0)

Svar #5
28. december 2016 af mathon

da for
$y=\tan^{-1}(x)$

$\tan(y)=x$ som differentieret mht x
giver:
$\left (1+\tan^2(y) \right )\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=1$

$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{1}{1+\tan^2(y) }=\frac{1}{1+x^2}$

$y=\int \frac{1}{1+x^2}\, \mathrm{d}x$

$\tan^{-1}(x)=\int \frac{1}{1+x^2}\, \mathrm{d}x$

$\int \frac{1}{1+x^2}\, \mathrm{d}x=\tan^{-1}(x)$

Brugbart svar (0)

Svar #6
28. december 2016 af mathon

tilføjelse til #5
$x\neq \frac{\pi }{2}+p\cdot \pi \;\wedge \;p\in \mathbb{Z}$

Brugbart svar (0)

Svar #7
28. december 2016 af mathon

egentlig:
$y+k=\int \frac{1}{1+x^2}\, \mathrm{d}x$

$\tan^{-1}(x)+k=\int \frac{1}{1+x^2}\, \mathrm{d}x$

$\int \frac{1}{1+x^2}\, \mathrm{d}x=\tan^{-1}(x)+k$

Svar #8
29. december 2016 af Whisky1234 (Slettet)

Tusinde tak for hjælpen :-)

Skriv et svar til: Inverse tangent

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.