Matematik

Differentialligninger og Reynoldstal

10. januar 2017 af marffloW (Slettet) - Niveau: A-niveau

Differentialligningen her

dw/dx=-2g-u*w(x)

er udtrykt som hastigheden som funktion af positoonen.

Der er tale om emnet, "Luftmodstand ved høje Reynoldstal"

Hvorledes kan denne ligning forklares og løses? - Kunne den anvendes i forhold til at være en model for praktiske data med en faldende genstand (frit fald med luftmodstand)?

Brugbart svar (0)

Svar #1
10. januar 2017 af peter lind

Hvis u er konstant er det en simpel lineær differentalligning, som kan løses på flere måder. Man kan for eks. bruge panserformlen eller løse den tilsvarende homogene ligning og derefter gætte på at en konstant er en løsning.

Ad Reynolds tal se https://en.wikipedia.org/wiki/Reynolds_number

Brugbart svar (0)

Svar #2
10. januar 2017 af Number42 (Slettet)

Jeg ved ikke hvad g og u er? men ligningen kan løses

w(x) = -2g/u + C e^{-u x} , hvor C er integrations konstanten.

Der i er et problem med enhederne så det er ikke en fysisk afledt ligning.

Luftmodstand ved høje Reynoldstal har en anden formel $F=\frac{1}{2}\rho v^{2} A C_w$

Modstanden er proportional med hastighedens kvadrat.

Svar #3
10. januar 2017 af marffloW (Slettet)

Kan det her passe?

Der løses for: dw(x)/dx=-2g-u*w(x)

Jeg dividere med -2g-u*w(x) ? på begge sider:

$\frac{\frac{dw(x)}{dx}}{-2g-u*w(x)}=1$

Skal jeg så integrere begge sider her: $\int\frac{\frac{dw(x)}{dx}}{-2g-u*w(x)}dx=\int 1dx$

Men hvad så nu?

Brugbart svar (0)

Svar #4
10. januar 2017 af peter lind

Du kan godt gøre noget i den stil nemlig eparation af variable

(-2g-u*ω(x))^-1dω = dx og så integrere på begge sider af lighedstegnet

Svar #5
10. januar 2017 af marffloW (Slettet)

$\int \frac{dw(x)}{dx}(-2g-uw(x)-1)dx=\int 1dx$

Så:

$-\frac{1}{2}uw(x)^2-w(x)-2gw(x)=x+c_1$

Er det korrekt gjort?

Brugbart svar (0)

Svar #6
11. januar 2017 af Number42 (Slettet)

Jeg gav jo løsningen ovenstående,

Svar #7
11. januar 2017 af marffloW (Slettet)

Men hvordan kom du frem til den? Trinene

Brugbart svar (0)

Svar #8
11. januar 2017 af Number42 (Slettet)

W'(x) = -2g -u W(x)

Man kan da ikke lade være med at gætte W(x) = -a +b e^-ux => b e^{-u x}= W+a

vi ved jo at e^x er differential operatorens egenværdi så når højresiden har W(x) råber den på en exponential funktion. fx y'(x) = -u y(x) kan direkte løses Ln(y) = -u x => y = e^{-u x}

W'= -b u e^-ux= -u (W+a) =- a u - uW

Hvad er så a?: au = 2g=> a = 2g/u

så W'= 2g/u -u W integrations konstant b forsvandt undervejs

Brugbart svar (0)

Svar #9
11. januar 2017 af Number42 (Slettet)

Du skal integrere $\int \frac{1}{2g -u W} dW= \int dx$

$-\frac{Ln(-2g-u W)}{u}= x+c$

Skriv et svar til: Differentialligninger og Reynoldstal

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.