Matematik

Hjælp til Gamle eksamensogaver

12. januar 2017 af Rossa - Niveau: Universitet/Videregående

Hej Folkens.

Jeg prøver at løse en opgave, men kan ikke komme videre med den.
I opgave 1.1 har jeg lavet et forsøg, men er i tvivl hvis den er rigtig.
Anden opgave kan jeg ikke komme videre.

Opgaven lyder:

I denne opgave tages udgangspunkt i følgende funktion:

$f(x,y)= \left\{\begin{matrix} \frac{1}{x} & 0 <x<1 , \ 0 <y <x \\ 0 & else \end{matrix}\right.$

1.1) Find den marginale tæthed for X, og vis at den marginale tæthed for Y er:

$g(y)= \left\{\begin{matrix} -log(y) & 0 <y <1 \\ 0 & else \end{matrix}\right.$
Min løsning til det bliver:
$1.1(a): \ g(y)=\int_{-\infty}^{\infty}f_{X,Y}(x,y)dx = \int_{y}^{1} \frac{1}{x} dx =ln(1)-ln(y)$

$1.1(b): \ g(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f_{X,Y}(x,y)dy = \int_{x}^{1} \frac{1}{x} dy =\frac{1-x}{x}$
Spørgsmål til 1.1 (a): Hvorfor skal man integrere fra fra til , da 0< x<1?
Spørgsmål til 1.1 (b): Er grænserne til integralet rigtigt, og hvorfor?

1.2)
Er X og Y uafhængige?

Jeg håber nogen derude vil hjælpe med opgaven, da lignende opgave kan komme til eksamen.
På forhånd tak

Brugbart svar (0)

Svar #1
12. januar 2017 af Number42 (Slettet)

Når y>x så er funktionen nul derfor er integrations grænserne OK

Hvis x og y er uafhængige så er P(x,y) = P(x) P(y)

Brugbart svar (0)

Svar #2
12. januar 2017 af Therk

1.1(a) Lige efter 0 < x < 1 skriver du selv at 0 < y < x. Dvs.

$x\in (\max\{0,y\}, 1)$

Da y > 0, er max{0,y} = y.

p.s.:

$\rule{7cm}{0.4pt}$

1.1(b) Du har fået opgivet y's interval direkte: 0 < y < x. Lad det være dine integralegrænser. Benyt afgrænsningerne på x til at sige at integralet er 0 uden for intervallet 0 < x < 1. Herunder er din funktion defineret med indikatorfunktioner i stedet for intervaller. Måske kan du nu nemmere se at den sidste indikatorfunktion kan indsættes i grænserne?

$f(x,y) = \frac 1x \cdot \boldsymbol 1_{\{0<x<1\}}(x)\cdot \boldsymbol 1_{\{0<y<x\}}(y), \quad \forall x,y\in \mathbb R$

$\rule{7cm}{0.4pt}$

1.2: Det nævnte i #1 er, for kontinuerte variable ækvivalent med at .

Svar #3
12. januar 2017 af Rossa

1.1(a) har jeg godt forstået.

I 1.1(b) forstor jeg som om jeg skal:
$g(x) = \int_{0}^{x} \frac{1}{x}dy = 1$ .
----------------------

opgave 1.2 $\frac{1}{x} \neq 1* (-log(y))$

Altså er X og Y ikke uafhængige?

Brugbart svar (1)

Svar #4
12. januar 2017 af Therk

1.1(b) Korrekt! Du mangler dog din indikatorfunktion for hvor x lever.

$g_X(x) = 1\cdot 1_{\{0<x<1\}} = \begin{cases} 1, & 0<x<1,\\0, &\text{ellers}\end{cases}$

1.2: Igen, få dine intervaller med, så er det måske lettere at se. Men din konklusion er korrekt.

Skriv et svar til: Hjælp til Gamle eksamensogaver

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.