Fysik

Cirkel bevægelse

08. februar 2017 af lokpæø (Slettet) - Niveau: A-niveau

Vis at kraften som der er brug fro for at holde en masse m i en cirkulær sti med radius r og perioden T er 4π²mr/T².

Brugbart svar (0)

Svar #1
08. februar 2017 af mathon

Udtrykket for en cirkelbevægelse med centrum
i koordinatsystemets begyndelsespunkt
har stedvektor:

$\overrightarrow{r}=\begin{pmatrix} r\cdot \cos \left ( \varphi (t) \right )\\ r\cdot \sin \left ( \varphi (t) \right ) \end{pmatrix}$
med hastighedsvektor:
$\overrightarrow{v}=\frac{\mathrm{d} \overrightarrow{r}}{\mathrm{d} t}=\begin{pmatrix} -r\cdot \sin \left ( \varphi (t) \right )\cdot \frac{\mathrm{d} \varphi }{\mathrm{d} t}\\ r\cdot \cos \left ( \varphi t \right )\cdot \frac{\mathrm{d} \varphi }{\mathrm{d} t} \end{pmatrix}$

og accelerationsvektor:
$\overrightarrow{a}=\frac{\mathrm{d}^2 \overrightarrow{r}}{\mathrm{d} t^2}=\begin{pmatrix} -r\cdot \cos \left ( \varphi (t) \right )\cdot \left (\frac{\mathrm{d} \varphi }{\mathrm{d} t} \right )^2-r\sin(\varphi (t))\frac{\mathrm{d^2} \varphi }{\mathrm{d} t^2}\\ -r\cdot \sin(\varphi (t))\cdot \left ( \frac{\mathrm{d} \varphi }{\mathrm{d} t} \right )^2+r\cdot \cos \left ( \varphi t \right )\cdot \frac{\mathrm{d^2} \varphi }{\mathrm{d} t^2} \end{pmatrix}$

som for den jævne cirkelbevægelse
med $\varphi (t)=\omega t+\beta$ hvor $\omega=\frac{2\pi }{T}$ og $\beta$ er konstanter
hvoraf
$\frac{\mathrm{d} \varphi }{\mathrm{d} t}=\omega$ og $\frac{\mathrm{d}^2 \varphi }{\mathrm{d} t^2}=0$

giver:
$\overrightarrow{a}=\frac{\mathrm{d}^2 \overrightarrow{r}}{\mathrm{d} t^2}=\begin{pmatrix} -\omega ^2r\cdot \cos \left ( \omega t+\beta \right )\\ -\omega ^2r \sin(\omega t+\beta ) \end{pmatrix}=\omega ^2\cdot \left ( -\overrightarrow{r} \right )$
dvs
$a=\left | \overrightarrow{a} \right |=\omega ^2r=\left ( \frac{2\pi }{T} \right )^2r=\frac{4\pi ^2}{T^2}r$

og centripetalkraften:

$F_c=m\cdot a=m\cdot \frac{4\pi ^2}{T^2}r$

Svar #2
08. februar 2017 af lokpæø (Slettet)

Mange men jeg forstår ikke helt hvorfor du vender x-retningen og y-retningen her og at der komme negativ fortegn på x-regningen:
$\overrightarrow{v}=\frac{\mathrm{d} \overrightarrow{r}}{\mathrm{d} t}=\begin{pmatrix} -r\cdot \sin \left ( \varphi (t) \right )\cdot \frac{\mathrm{d} \varphi }{\mathrm{d} t}\\ r\cdot \cos \left ( \varphi t \right )\cdot \frac{\mathrm{d} \varphi }{\mathrm{d} t} \end{pmatrix}$

Brugbart svar (0)

Svar #3
08. februar 2017 af mathon

det skyldes
$\left (\cos(\varphi (t)) \right ){}'=-\sin(\varphi (t))\cdot \varphi {\, }'(t)$

hidrørende fra
$\cos{ }'(x)=-\sin(x)$

og der vendes hverken x- eller y-retning.

Skriv et svar til: Cirkel bevægelse

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.