Matematik

parabel og integralregning HJÆLP

11. februar 2017 af 321bj (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej alle sammen. jeg sidder med en opgave (vedhæftet som jeg ikke forstår, hvordan jeg skal løse). Især det med at opstille parablen forstår jeg ikke rigtig, hvordan jeg skal gøre. Hvilket oplysninger skal jeg bruge? Jeg har vel givet toppunktet (0,0) og så vel også et punkt eller 2 punkter (17,15) og (-17,15) ? Men er dette overhovedet forstået korrekt og i så fald, hvordan skal jeg opstille parablen; er det nok at bruge 2 punkter eller skal jeg opstille den ud fra 3? og hvordan?

Svar #1
11. februar 2017 af 321bj (Slettet)

Her er opgaven

Vedhæftet fil:integral hjælp.docx

Brugbart svar (0)

Svar #2
11. februar 2017 af mathon

a)
y=ax^2 gennen (17,15)

$15=a\cdot 17^2$

$a=\frac{15}{17^2}$

Brugbart svar (1)

Svar #3
11. februar 2017 af mathon

b)
$V=2\pi \cdot \int_{0}^{17}x\cdot \frac{15}{17^2}x^2\, \mathrm{d}x$

$V=2\pi \cdot \frac{15}{17^2}\cdot \int_{0}^{17} x^3\, \mathrm{d}x$

$V=2\pi \cdot \frac{15}{17^2\cdot 4}\cdot17^4=\pi \cdot 7{,}5\cdot 17^2=6.809{,}4\; (cm^3)$

Brugbart svar (1)

Svar #4
11. februar 2017 af mathon

teori:
Haves i 1. kvadrant et område begrænset af en graf, x-aksen og linjerne x = a og x = b, hvor a < b,
beregnes volumen $\small V$ af legemet fremkommet ved en 360°s rotaion om y-aksen:

$\small V =2\pi \cdot \int_{a}^{b}x\cdot f(x)\; \mathrm{d}x$

Svar #5
11. februar 2017 af 321bj (Slettet)

#2 dvs. jeg behøver kun et punkt, beregner parablens hældning, og den har forskriften y =ax² fordi den går gennem origo ik?

#3 og #4

grunden til at a = 0 og b = 17, er det fordi man skal tage intervallet før den roteres om y-aksen ?

Svar #6
11. februar 2017 af 321bj (Slettet)

og hvordan løser jeg c'eren? hvordan skal jeg isolere højden?

Brugbart svar (1)

Svar #7
11. februar 2017 af mathon

$2\pi \cdot \int_{0}^{h}x\cdot f(x)\; \mathrm{d}x=4000$ da 4 L = 4000 cm³.

$\int_{0}^{h}x\cdot f(x)\; \mathrm{d}x=\frac{2000}{\pi }\; ...$

Svar #8
11. februar 2017 af 321bj (Slettet)

#7 ok men hvordan isolerer jeg værdien af højden i det bestemte integrale? Vi har ikke regnet på det i håndet før så ved fx ikke hvad det x er som der ganges på funktionen

Brugbart svar (1)

Svar #9
11. februar 2017 af mathon

$\int_{0}^{h}x\cdot f(x)\; \mathrm{d}x=\frac{2000}{\pi }$

$\int_{0}^{h}x\cdot \tfrac{15}{17^2}x^2\; \mathrm{d}x=\frac{2000}{\pi }$

$\tfrac{15}{17^2}\cdot \int_{0}^{h}x\cdot x^2\; \mathrm{d}x=\frac{2000}{\pi }$

$\int_{0}^{h}x\cdot x^2\; \mathrm{d}x=\frac{2000\cdot 17^2}{15\pi }$

$\int_{0}^{h} x^3\; \mathrm{d}x=\frac{2000\cdot 17^2}{15\pi }$

$\left [ \frac{1}{4}x^4 \right ]_{0}^{h}=\frac{2000\cdot 17^2}{15\pi }$

$\frac{1}{4}h^4-0 =\frac{2000\cdot 17^2}{15\pi }$

$h =\left (\frac{4\cdot 2000\cdot 17^2}{15\pi } \right )^{0{,}25}$

Svar #10
11. februar 2017 af 321bj (Slettet)

tusind tak for hjælpen

Brugbart svar (1)

Svar #11
12. februar 2017 af mathon

Teori:
Hvis man lader et rektangel med areal $L\cdot B$ dreje en hel omgang om en akse parallel med langsiden, vil det beskrive en cylinderskal.
Volumen af et legeme, der kan dannes på den måde er ifølge Guldins regel =

den omdrejende flades areal gange den vej, arealets tyngdepunkt gennemløber.

Opdeles i 1. kvadrant et kontinuert kurvestykket fra (a,f(a)) til (b,f(b)) og a < b
i intervaller
a = x₀ < x₁ < x₂ < ... < x_n = b
vil

for $n \to \infty$
summen af cylinderskallernes volumen

$S=\sum_{i=0}^n \underset{tyngdepunktets\; vej}{\underbrace{\left ( 2\pi x_i \right )}}\cdot \underset{fladeareal}{\underbrace{f(x_i)\cdot \left ( x_{i+1}-x_i \right )}}$

have grænseværdien

                        $V=2\pi \int_{a}^{b}x\cdot f(x)\, \mathrm{d}x$

Skriv et svar til: parabel og integralregning HJÆLP

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.