Matematik

Vektorer i 3D

14. februar 2017 af MM2300 (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej SP,

Jeg har ihærdigt brug for hjælp til en opgave. Jeg har vedhæftet opgaven.

Jeg har kigget hele nettet igennem og jeg kan bare ikke forstå hvad jeg skal gøre...

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2017-02-14 kl. 00.49.37.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
14. februar 2017 af SuneChr

Find en normalvektor (a ; b ; c) for planen gennem ABCD og et punkt (x₀ ; y₀; z₀) i denne plan.
Normalvektoren findes som krydsproduktet af to vektorer beliggende i planen.
Planens ligning er da
a(x - x₀) + b(y - y₀) + c(z - z₀) = 0

Brugbart svar (0)

Svar #2
14. februar 2017 af mathon

Brugbart svar (0)

Svar #3
14. februar 2017 af mathon

Planligning:
$\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{P_oP}=0$
hvor $\overrightarrow{n}$ er en normalvektor, P_o er et fast punkt i planen og P_o er et variabelt punkt i planen.

En normalvektor er $k\cdot \left (\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} \right )$ og det faste punkt kan vælges som A, B, C eller D.

Brugbart svar (0)

Svar #4
14. februar 2017 af mathon

$\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix} 8-11\\26-(-1) \\12-3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3\\27 \\ 9 \end{pmatrix}=-3\cdot \begin{pmatrix} 1\\-9 \\ -3 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{AD}=\begin{pmatrix} 12-11\\0-(-1) \\0-3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\1 \\ -3 \end{pmatrix}$

Det nemmeste faste punkt er
hvoraf
$\overrightarrow{P_oP}=\begin{pmatrix} x-12\\ y \\ z \end{pmatrix}$

Brugbart svar (0)

Svar #5
14. februar 2017 af mathon

korrektion:
$\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix} 8-11\\26-(-1) \\12-3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3\\27 \\ 9 \end{pmatrix}$

Svar #6
14. februar 2017 af MM2300 (Slettet)

Tusind tak for dit svar!!

- Er det ligningen???

Svar #7
14. februar 2017 af MM2300 (Slettet)

Hvordan kan man se at planen ligger på ligningen?

Brugbart svar (0)

Svar #8
14. februar 2017 af mathon

En plan "ligger ikke på ligningen".

En plans punkter koordinatopfylder en ligning.

Svar #9
14. februar 2017 af MM2300 (Slettet)

Nåh okay, godt at vide :)

Men hvad skal jeg gøre efter normalvektoren samt krydsprouktet er fundet?

Brugbart svar (0)

Svar #10
14. februar 2017 af mathon

$\overrightarrow{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD}=\begin{pmatrix} -3\\27 \\ 9 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 1\\1 \\ -3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -90\\0 \\ -30 \end{pmatrix}=-\frac{1}{30}\cdot \begin{pmatrix} 3\\0 \\ 1 \end{pmatrix}=-\frac{1}{30}\cdot\overrightarrow{n_1}$
hvorfor $\overrightarrow{n_1}$ også er en plannormalvektor.

Planligning:
$\alpha _{ABCD}\! \! :\; \; \overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{P_oP}=0$

$\begin{pmatrix} 3\\0 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x-12\\y \\ z \end{pmatrix}=0$

3x+z-36=0

Brugbart svar (0)

Svar #11
14. februar 2017 af fosfor

Man skal kun bruge tre punkter til at finde ligningen. Det er simplest at bruge dem med 0-taller.

A = 11 -1 3
C = 12 22 0
D = 12 0 0

Planligningen er
a x + b y + c z = 1

Når D indsættes bliver det 12a+0+0=1 dvs. a=1/12
Når C indsættes sammen med forrige resultat for a giver det 1+22b+0=1 dvs. b=0
Når A indsættes fås 11/12+0+3c=1 dvs. c=1/36

Gang evt. alle led i den endelige ligning med 36 for at opnå heltal.

Skriv et svar til: Vektorer i 3D

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.