Find samtlige løsninger

I den første: Læg y^2 til på begge sider af lighedstegnet. Tag så y=1 og se, om du kan finde en tilsvarende hel x-værdi. Gentag med y=2 osv. På et tidspunkt kan du se, at der ikke er flere mulige løsninger.

for first one, write:

):

x-y = 2

x+y=10

):

2x = 12

x=6

og

y=-4

other solutions:

x=-6

y=4

total: (6 -4) and (-6, 4)

1. opgave)

      x² − y² = 20        <=>   y² = x²-20  =20²           <=>   x² = 20² + 20        

      <=>  x= √420 = ca 20,44            men det er jo ikke noget heltal!

#3

1. opgave)

      x² − y² = 20        <=>   y² = x²-20  =20²           <=>   x² = 20² + 20        

      <=>  x= √420 = ca 20,44

Det siger du, hvad siger #0?

#0

Søger hjælp til disse to opgaver!

Lad x, y være positive heltal.
• Find alle løsninger til ligningen: x^2 − y^2 = 20
• Find alle løsninger til ligningen: xy + 5x + 3y = 200 

Hvordan starter man?

#2

for first one, write:

):

x-y = 2

x+y=10

):

2x = 12

x=6

og

y=-4

other solutions:

x=-6

y=4

total: (6 -4) and (-6, 4)

given 

#2 er forkert. y er ikke lig med -4, men med +4.

Det er en udmærket idé at benytte x^2-y^2 =(x+y)(x-y) = 20. Da 20 er et lige tal, er mindst én af faktorerne lige. Hvis x+y er ulige, vil x være lige og y ulige eller omvendt, men det vil medføre, at x-y er ulige, i strid med at mindst én af faktorerneskal være lige. Heraf følger, at enten er både x og y lige eller også er de begge ulige.

Derudover kan vi se, at de ikke kan være lige store, for så ville x-y være 0 og produktet også være 0 i strid med at det skal være 20. Det vil sige, at y skal mindst være 2 (midste lige naturlige tal) og, at x skal være mindst 4 (mindste naturlige tal, der er større end y).

Den største værdi, som x+y kan antage findes ved at antage, at x-y = 1 og så dividere det op i højresiden. Det giver som ovenfor vist x+y= 10. Heraf findes x = 6 og y = 4. Vi kan nu se på tallet 20, som kan skrives som 2^2*5. Vi har afprøvet opdelingen i 2 og 2*5. Da vi har vist, at begge faktorer skal være lige, er der ikke andre muligheder tilbage.

Der er andre måder at løse det på. En tung men brugbar metode er at at prøve alle kombinationer af x og y, begge mellem 1 og 20, og se, om det giver en løsning.