Matematik

Hyperboliske trig-funktioner.

02. marts 2017 af Rossa - Niveau: Universitet/Videregående

Hej derude.
Jeg skal løse en opgave, men desværre kan jeg ikke forstå notationerne.

Opgaven lyder:
Vis at :
$\cosh([0, \infty))= [1,\infty)$ , $, \ \sinh(\mathhb{R})= \mathhb{R}$

Mere konkret forstår jeg ikke hvad betyder:

(1) $\cosh([0, \infty])$
(2) er $[1,\infty)$ værdimængden for $\sinh(x)?$

(3) Betyder $, \ \sinh(\mathhb{R})= \mathhb{R}$ , at $\sinh: \mathhb{R} \to \mathhb{R}, \ \forall x \in \mathhb{R}$ ?

Jeg håber, at nogen vil forklare opgaven med simpler ord punktvis, og hvis du giver hints, det vil være mega godt, men først har jeg brug at forstå notationerne.

Yderlige har jeg vist, at cosh(x) ≥ 1, og monotonously aftagende fra minus uendelig, og streng voksende fra 0 til uendelig, og sinh(x) streng voksende i alle reelle tal, har vist mange egenskaber, som jeg ikke har nævn nedenfor.

På forhånd tak

Brugbart svar (0)

Svar #1
02. marts 2017 af mathon

cosinushyperbolsk af intervallet [a;b]

$\cosh\left ( \left [ 0\, ;\infty \right ] \right )=\left [ 1\, ;\infty \right ]\; \; \; \; \; \; \; \;\; \; \; \; \; \sinh\left ( \mathbb{R} \right )= \mathbb{R}$

$\cosh\left ( \left [ 0\, ;\infty \right ] \right )=\left [ 1\, ;\infty \right ]\; \; \; \; \; \; \; \;\; \; \; \; \; \sinh\! \! : \mathbb{R}\curvearrowright \mathbb{R}$

Brugbart svar (0)

Svar #2
02. marts 2017 af peter lind

Du skal vise at cosh(x) er 1 for x=1 og går mod ∞ for x-> ∞ eller med andre ord [0, ∞[ -> [1, ∞[

(2) passer ikke

(3) ja

Brugbart svar (0)

Svar #3
02. marts 2017 af mathon

Du skal vise at cosh(x) er 1 for x = 0…

grundligning:
$\cosh^2(x)-\sinh^2(x)=1$

Brugbart svar (1)

Svar #4
02. marts 2017 af Eksperimentalfysikeren

Skrivemåden f([a;b]) betyder mængden af de y, for hvilke, der findes et x i intervallet [a;b], så y = f(x).

Sagt på en anden måde: f([a;b]) findes ved at man tager alle elementer i intervallet og finder den tilhørende funktionsværdi. Disse funktionsværdier udgør mængden f([a;b]).

Svar #5
02. marts 2017 af Rossa

#2
#3

Jeg har vist at cosh(0)= 1, og den er kontinuert og differentielt i hele reelle tal, har beviset også, at cosh(x) er aftagende på de negative reelle tal, og dermed voksende i de positive reelle tal.

Jeg har også vist, at sinh(x) er voksende på alle reelle tal, og dermed har jeg beviset, at sinh er bijektiv.

Jeg synes, at jeg er lidt med nu med opgaven, men kunne ikke forstå had betyder $\cosh([0, \infty))$ ?
Vil du skrive det med ord?

#1

Hvorfor har du lukket intervaller, da uendelige ikke ligger på et lukket interval efter min forståelse?

Er det fordi jeg har skrivet forkert i (1)?

Brugbart svar (1)

Svar #6
03. marts 2017 af Eksperimentalfysikeren

Det er rigtigt, at intervallerne skal være åbe ved uendelig.

Du er ikke helt færdig. Du har bevist, at cosh(x) er voksende for x>0, men du har ikke dermed vist, at den går mod uendelig. Det kunne jo væe, at den gik med 1. Det gør f.eks. tanh(x) = sinh(x)/cosh(x).

Brugbart svar (1)

Svar #7
03. marts 2017 af mathon

$\cosh^2(x)-\sinh^2(x)=1$

$\cosh(x)=\sqrt{1+\sinh^2(x)}\; \; \; \; \; \; x\geq 0$
og
$\sinh(x)=\tfrac{1}{2}\left ( e^x-e^{-x} \right )=\tfrac{1}{2}\cdot \frac{e^{2x}-1}{e^x}$

$\underset{x\rightarrow \infty}{\lim} \sinh(x)=\tfrac{1}{2}e^x=\infty$

og dermed
$\sqrt{1+\sinh^2(x)}\rightarrow \infty$ for $x\rightarrow \infty.$

Skriv et svar til: Hyperboliske trig-funktioner.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.